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porque ambos tienen por medida el arco QPN. Luego las rectas CP y AN 

 son antiparalelas en el ángulo PBC; y por tanto 



BA.BC = BN.BP = e; [1] 



y esta ecuación determina también el punto C, independientemente de la 

 elección de los puntos M, N y P, puesto que de ella sale 



BC = T^. = const. 

 BA 



Además, la relación de Stewart, aplicada a los tres puntos en línea recta 

 A, B, C y al punto O, exterior a dicha recta, y después de sustituir en ella 

 las expresiones de las potencias de A, B y C, respecto del círculo, por 

 sus valores a, ¡3 y 7, da 



« . BC + 6 . CA + 7 . AB + BC . CA . AB = 0. 



Y sustituyendo en ésta é por su valor dado por la [1] será 



a . BC + BA . BC . CA + 7 . AB + BC . CA . AB = 0. 



El segundo y tercer término se anulan por tener tres factores iguales 

 de los cuales uno es de signo contrario; luego 



7 . AB = a . CB; 

 de donde 



a . CB cíS 



AB AB2 



const. 



Luego la recta d, el punto C y la potencia 7 son independientes de la 

 elección de los puntos M, N, P, que se hayan elegido para el razona- 

 miento. 



Q es, por otro lado, el transformado de M por el abatimiento ka per- 

 fectamente determinado y P el transformado de Q por la inversión le-, 

 luego 



^ lA« X IB^ = Arf X í (1). 



Luego el producto de dos inversiones de centros diferentes es 

 igual al producto de un abatimiento kd alrededor de un eje deter- 

 minado por aquéllas, por una inversión /J de centro y potencia de- 

 terminados también por las mismas. 



37. El producto de dos inversiones del mismo centro es una 



(1) Esta demostración es de Niewenglowski. 



