- 151 — 



homotecia respecto del mismo centro, cuya razón de homotecia es el 

 cociente de las potencias de las dos inversiones. Sea A un punto; A', su in- 

 verso respecto de Xc'-., A" el inverso de A', respecto de Ic^; se tendrá 



CA . CA' = a, CA' . CA" = 6; 



dividiendo 



CA _ a 



CA" ~ 6 ■ 

 Esto es, 



Dedúcese inmediante de esta proposición que el producto de dos trans- 

 formaciones del tipo A • I es una operación de las formas G3I o DH. 



Representemos por P, en general, el producto en cuestión y se 

 tendrá 



P = (A . I)(A' . I') = A(I . A')I'. 



Pero I- A' puede transformarse (según 34) en A'- I" y sustituyendo se 

 tendrá 



P = A . (A' . I") . F = A . A' . I" . r. 



El producto de los dos abatimientos es una traslación o un giro, es decir, 

 un deslizamiento D, y si las dos inversiones tienen el mismo centro, se 

 podrán reemplazar por una homotecia (según 37). Será, por consiguiente, 

 en este caso 



P = D.H. 



En el caso en que las inversiones tengan centros diferentes A y B 

 (según 36), se pueden sustituir por el producto de un abatimiento axial por 

 una inversión y se tendrá 



P = A . A'(A" . I'") = (AA'A")!'". 



Y como AA'A" es, según 29, un movimiento del grupo Q3, se sigue que 

 en este caso 



P= (AA'A")!'" = 03!'". 



Bastan las proposiciones precedentes para deducir, en todas las com- 

 binaciones posibles, que el producto de dos operaciones del tipo S, del I o 

 del SI, es equivalente a una operación del mismo tipo. Por lo tanto, for- 

 man un grupo que es el más general de los elementales. 



