CAPÍTULO PRIMERO 



ALGUNOS CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA TEORÍA DE LAS CURVAS 



ALGÉBRICAS PLANAS 



§1. Nociones preliminares 



1 . Se llama curva algébrica plana el conjunto de puntos reales y 

 complejos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación algébrica 



f(x, y) — í2mo X»- + (3w— 11 xn-^y + . . . an-TT xn—'-yr -(-... -|- a^g = o [1 ] 



de coeficientes reales o complejos. 



Si el primer miembro de la [\\ es irreducible, la curva se dice irre- 

 ducible; en el caso contrario se llama reducible, degenerada o com- 

 puesta de tantas líneas cuantos sean los factores componentes de [1]. El 

 grado de la ecuación [1] se llama también orden de la curva. Por breve- 

 dad de lenguaje diremos frecuente e indistintamente la curva /, la ecua- 

 ción /= O, para denotar la ecuación [1] o la curva por ella represen- 

 tada. 



Como el sistema 



f{x,y) = Q \ 



ax+by + c^O\ l«J 



tiene en general n soluciones, y la segunda de sus ecuaciones representa 

 una recta genérica del plano, resulta que una curva algébrica / de or- 

 den n y una recta genérica de su plano, se cortan en n puntos. Eliminan- 

 do una de las variables, tendremos la ecuación 



Si la [2] tiene a raíces iguales, la recta y la curva representadas por 

 el sistema [a] tienen a intersecciones en el punto correspondiente A. Si 

 la [2] fuese de grado m<n, se la considera como límite de una ecuación 

 de grado n cuyos n — m coeficientes de mayor grado tienden a cero; en 

 tal caso n — m raíces tienden a infinito y se dice que la recta y la curva 

 tienen n — m puntos en el infinito; basta introducir en [c] coordenadas 



