— 397 — 



proyecciones de ella misma; puesto que las proyecciones son transforma- 

 ciones homográficas 



¿/' = «21 -^+«22 ^ + 023-^1 [b] 



^' = «31 X + «32 ¿/ + «33 ^J 



las cuales evidentemente transforman el polinomio / (x, y, z) de grado 

 n en otro f'{x\ y\ z') del mismo grado. 



Interpretando las variables x, y como coordenadas de rectas en el mis- 

 mo plano en que las x, y se consideraban como coordenadas de puntos, 

 tendremos una curva envolvente de rectas, cuyas propiedades se obtie- 

 nen inmediatamente aplicando el principio llamado de la correlación o 

 dualidad de la Geometría proyectiva: 



§ II. Tangentes. Puntos dobles y múltiples 



3. Sabemos de la Geometría analítica elemental que si 



f{x,y,B) = Q [1] 



€s la ecuación de una curva algébrica plana, 



"-^x^-4~y+^B = [2] 



' dxi c)^i ' c)^i • ■ ^ -■ 



es la ecuación de la tangente a la curva / en un punto P de coordenadas 

 {•^1 Ui ^i) de la misma. 



Como la ecuación [2] tiene siempre dos raíces comunes con la [1] en el 

 punto P, resulta que la tangente tiene siempre dos puntos comunes con la 

 curva en el punto de contacto; propiedad que siendo característica puede 

 servirnos de definición de tangente. Analizando la [2] se observa que pue- 

 den ocurrir dos casos: 



1.° Que los coeficientes de x, y, ^ (o sea las derivadas parciales 

 de /respecto a las tres variables) no sean todos nulos. En tal caso el pun- 

 to se llama simple u ordinario, y la recta [2] que puede considerarse 

 como límite de las secantes con un punto fijo P y un segundo que tiende 

 a P, moviéndose sobre /, se llama tangente propia. 



2.° Si las tres derivadas dichas son nulas, la ecuacidn [2] se satisfa- 

 ce independientemente de los valores dados a x, y, z,y, por consiguien- 

 te, toda recta del plano que pasa por P es tangente a la /: un tal punto P 

 se llama doble, y las rectas dichas reciben el nombre de tangentes im- 

 propias. 



