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Supongamos que el punto P sea el origen de coordenadas; que sea 

 punto simple y que la tangente no se confunda con ninguno de los ejes 

 coordenados. 



La ecuación [1] en coordenadas absolutas, tomará la forma 



/(■í^.¿/) = «io-í^+«oií/+«2o-«"^H-aii-«'i/+ao2Z/^ + - + a«ox»+-+aonz/»=0, [3] 



O sea 



fix, y) = ¥i {x, u) + <^2{x,y) + ••' + <?w u. y) = o, 



siendo c?¿ (x, y) formas binarias de grado /. 

 La ecuación de la tangente es ahora 



a^QX + ÜQ^y = O (áio =j^ 0; floi =í= 0). [4] 



En el entorno del primer orden (o sea a menos de infinitésimos de se- 

 gundo orden) la curva viene aproximada en el origen por su tangente, la 

 cual está perfectamente determinada por la [4]. 



Como 



dyh ' 



por hipótesis, aplicando el teorema de existencia de las funciones implíci- 

 tas (l),,en el entorno del punto P será válido el desarrollo 



o sea 



y = aiX-\-a2X^ + a^x^ + ... + a¿x* + ...,- 



que tomando un número finito de términos, representa una parábola de 

 orden igual al subíndice / del último término que se tome del desarrollo, 

 la cual se dice parábola osculatriz de orden / a la curva en su punto 

 simple P. Esta parábola aproxima la curva a menos de un infenitésimo de 

 orden /+ 1 , y está perfectamente determinada por la condición de pasar 

 por un punto simple dado, y tener en él con la curva un contacto (/+1) 

 punto. En el caso que 



<22 = Os = • ■ • = flí = O, 



la parábola dicha se reduce a la recta y = a^x tangente a la curva (más 

 la recta del infinito contada / — 1 veces) con un contacto (/ -f 1) puntos- 

 la cual nos da la aproximación dicha. 



(1) Rey Pastor, Análisis algebraico, en litografía, pág. 247. 



