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4. Si el punto P es doble resulta aio = aoi = en la 4), y, por consi- 

 guiente, toda recta y = mx que pase por P tiene dos intersecciones (al 

 menos) en dicho punto con la curva. Recíprocamente, si toda recta que 

 pase por P debe tener dos intersecciones (al menos) en dicho punto con la 

 curva, como P está en el origen, el sistema formado por la [3] y\ay = mx, 

 o sea 



y = mx • 

 ■x(aio -{- a^xTrí) + x2(fí2o -i-aum + ao2^^) +. ••• + x''(ano + ••• + aou/n") = O 



debe tener al menos dos soluciones x—í/ = o independientemente del va- 

 lor de m, y, por consiguiente, aio=aoi=0- Si los coeficientes de los tér- 

 minos de 2° grado de la 3) no son todos nulos, la ecuación «20+^11^+ 

 + ao2m^=0, nos da dos valores de m, que son los coeficientes angulares 

 de las dos rectas 



«20 x^ + a„ xy -h ^02 y^ = 92(^y) = [6] 



que tienen tres puntos (contacto tripunio) comunes con la curva en el 

 punto P: estas dos rectas se llaman tangentes principales, en el punto 

 doble, a la curva. Si ambas tangentes son reales y distintas o imagina- 

 rias conjugadas, el punto doble se llama simplemente Nodo, y también 

 Punto aislado en el segundo caso; si las dos tangentes son reales y 

 confundidas en una, el punto se llama Cúspide. En el caso de Nodo la 

 función y{x) que tiene dos valores ¿^=0 para x=0, admite en el entorno 

 de P dos desarrollos en serie convergente 



donde 



y = biX^-b^x'^ + biXK..+bixA ^ ■' 



y = aiX 

 y=^bix 



son las ecuaciones de las dos tangentes principales. Los dos desarrollos 

 de 7) son distintos, por ser a^ =t= b^. Por tanto, la curva consta de dos ra- 

 mas lineales, cada una de las cuales tiene su parábola osculatriz, y tiene 

 como 1.^ aproximación una de las tangentes principales dichas. Resulta, 

 pues, que «En un Nodo la curva viene representada por las dos 

 ecuaciones 7), que representan dos parábolas osculatrices a las 

 dos ramas (una a cada una) de la curva, cuyas dos tangentes princi- 

 pales dan la aproximación de la misma en el entorno de primer or- 

 den. >^ Desde el punto de vista algébrico no hay, pues, distinción entre 

 Nodo (punto doble con tangentes reales y distintas) y Punto aislado, 



