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razón por la cual empleamos el término genérico Nodo para ambos 

 casos. 



Si se trata de una Cúspide, y suponemos también que no se anulan 

 todos los términos de 2.° grado de la 3); que la tangente principal se 

 tome como eje de las x, y que sólo sea tangente tripunto, la ecuación 3) 

 será de la forma 



y2^kx^^b,x^y^b^xy^ + b^y^ + ... [8] 



donde A 4t 0. En este caso no existen dos desarrollos distintos en serie 7) 

 como en el caso del Nodo, pues si los hubiese, como las dos parábolas 

 osculatrices tendrían la misma tangente, ésta tendría con la curva com- 

 puesta de las dos parábolas dichas (y, por tanto, con la curva misma) 

 cuatro puntos de contacto, contra la hipótesis. Resulta, pues, que en una 

 cúspide ordinaria de 1.^ especie (punto doble cuya tangente tiene con 

 la curva contacto tripunto solamente) la-curva tiene una sota rama con 

 dos valores y = 0, los cuales se cambian entre sí cuando la variable com- 

 pleja da una vuelta en torno al origen, de modo que no comprenda puntos 

 críticos de la función y (x). Una primera aproximación de la curva 8) en 

 un tal punto nos la da la cúbica i/^ =^ kx^, en la cual se ve que siendo 



resulta 



valores que se cambian entre sí cuando 6 aumenta en 2^. 



5. Un razonamiento completamente análogo al que hemos hecho para 

 el punto doble, nos dice que la condición necesaria y suficiente para 

 que un punto dado (que se puede suponer en el origen) sea r-plo (y no 

 (r + \)-plo) es que en la [3] se anulen todos los coeficientes de las 

 formas 



<Pl U, ¿/), ®2 {x, y), ... <?r--i (x, y) 



y no todos los de la 



(O (x,y); r<n. 



En un tal punto tiene la curva r tangentes principales cuya ecua- 

 ción complexiva es 



'Dr(X,y) = Q. 



Si el contacto de toda tangente principal con la curva es sola- 

 mente (r + \)-punto, se llama punto r-plo ordinario. 



