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En el caso que un punto (que supondremos origen de coordenadas) 

 sea r-plo ordinario, puede suceder: 



a) Que las /-tangentes principales sean todas distintas. En tal caso, 

 considerando los ejes coordenados en posición genérica (esto es, distin- 

 tos de las tangentes principales), un razonamiento completamente análogo 

 al caso del Nodo, nos dice que en el entorno de un tal punto la función 

 y(x) admite r desarrollos en serie convergente 



ysix) = as x-\-bsx'^ -\- Cs^^-\- ... 5 = 1,2, ...r [9] 



representantes (cuando sea finito el número de términos) de r parábolas 

 distintas osculatrices cada una a su respectiva rama de la curva. Tales 

 ramas se llaman lineales y la curva se comporta en dicho punto como si 

 tuviera en él r puntos simples, uno en cada rama. 



b) Que las r tangentes se confundan en una. Entonces el punto se 

 llama cúspide ordinaria de orden r. 



Considerada la única tangente principal como eje de las x, la curva 

 vendrá representada por la ecuación 



yr = kxr+^ + Ci X^ y -{- C2 X>--^ y^ + ... + Cry' + cpr + 2 (x, y) + ... [10]" 



donde ^ =t=0 por hipótesis. Procediendo como en el caso de la cúspide or- 

 dinaria de primera especie, la hipótesis de que la tangente cuspidal sólo 

 tenga un contacto (r + l)-punto con la curva, nos conduce al siguiente 

 resultado: 



En un punto cuspidal ordinario de orden r la curva tiene una 

 rama única; los r valores y (x) en dicho punto forman un ciclo 

 cuando la x gira en torno al origen dentro de un círculo que no 

 contenga ningún otro punto critico, y viene aproximada por la éurva 

 y'^ = K.r''+i que recibe el nombre de hiperparábola osculatriz. 



c) Si /í < /■ tangentes se confunden en una, siendo las r—h restan- 

 tes distintas y con contacto (r -|- l)-punto como la primera, la curva se 

 descompone en r — h ramas lineales y una rama cuspidal ordinaria 

 de orden h, como caso mixto de los dos anteriores. La ecuación será de 

 la forma 



y^ {y — tux X) ...{y — mr-h x) = kx^-+^ -}t ^i-^^^í/ + ••• [1 1] 



donde m-^^m^.-. mr—n son los coeficientes angulares de las diversas tan- 

 gentes a las ramas lineales, y la tangente h-pla se toma como eje de 

 las X, y por hipótesis k y todos los coeficientes angulares m son diver- 

 sos de cero. 



