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 Dividiendo la [1 1] por x^-^ resulta 



en la cual se observa que para valores y (x) corr-espondientes a la rama 

 que se ha supuesto tangente al eje x, los factores ~ nn son todos 



X 



constantes (porque la dirección de la tangente contada h veces es diversa 

 de todas las otras r—h direcciones), resultando así una rama cuspidal or- 

 dinaria de orden h. 



d) En general, siendo el punto r-plo ordinario^ las r tangentes 

 principales coincidirán a grupos de v^ , siendo v^ + vg... v^ = r. Como se 

 sabe, de la teoría de funciones algébricas (Bianchi: Lezioni sulla teoría 

 4elle funcíoní di üaríabile complessa, cap. VII, Spoerri. Pisa, 1916) los 

 r valores de y (x) para x = O, cuando x hace un giro en torno ál origen 

 dentro de un círculo que no contenga ningún otro punto crítico, se cam- 

 bian entre sí formando una sustitución que se descompone en ciclos de or- 

 den V tales que v^ -\- r^-\- ^s = r. La curva— se dice en tal caso— se des- 

 compone en 5 ramas de órdenes v^ vg... vs. Para cada rama existe el des- 

 arrollo en serie de Puisseux 



y = at + bP-\-cfi+... [12] 



t=x'^ " 



(v es entero y positivo) en el entorno del punto que se toma como origen 

 de coordenadas. Cuando el orden v > 1 la rama suele decirse superlitieal, 

 en contraposición a rama lineal cuando v = 1 . Para evitar confusiones 

 posibjes conviene distinguir entre orden del ciclo (o sea orden de poli- 

 dromía de la función elemental y {x) y orden de la rama de la curva (o 

 sea número de puntos de intersección de dicha rama con una recta gené- 

 rica infinitamente próxima al punto de la curva que se considera). Si los 

 ejes se toman en posición genérica, ambos órdenes coinciden, pues el des- 

 arrollo en serie será 



y=^ax-^rbx v -\- ...qx -^ -{- ...a^O 



donde se ve que la recta genérica y = ax -{- t {e infinitamente pequeño) 

 corta la rama en v valores infinitamente próximos a cero. Cortando, en 

 cambio, por la tangente y = ax resultan v + {j. valores próximos a cero 

 ((x vale 1 cuando el punto es múltiplo ordinario). El número \t. se llama cla- 

 se de la rama. Cuando dicha tangente se toma como eje de las y, el orden 



