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 del ciclo resulta v -f- ¡j., porque viene la rama representada por una serie 



de potencias x\>-+^ . (Enriques Chisini: Teoría Geom., libro 4.°, pág. 331.) 

 Cuando alguna de las tangentes principales en un punto r-plo de la 

 curva tiene un contacto (r + /?)— punto (h > 1), se dice que la curva tiene 

 €n él una singularidad extraordinaria. Si cada rama es lineal, la función 

 vendrá representada en el entorno del punto (tomado como origen y con 

 ejes erp posición genérica) por los desarrollos en serie 



ys(x)^asx h bsx^ -{- Csx^-^ ... [12 



s=],2...r 



representantes de las parábolas osculatrices a las ramas lineales respecti- 

 vas. Si dos de estas parábolas son tales que sus primeros h coeficientes 

 son iguales; esto es, por ejemplo, a^ = a^, 6i = 62..., y no lo son los que 

 ocupan el lugar {h -\- l)-ésiino^ se dice que las dos ramas lineales corres- 

 pondientes tienen h puntos infinitamente próximos al origen. Si dos cua- 

 lesquiera de las r parábolas cumplen tal condición, el punto r-plo se dice 

 singular de especie h (para h.= resulta, pues, el punto r-plo ordina- 

 rio), o también que las ramas lineales ti&nen h puntos comunes infl- 

 tamente próximos al origen además de éste (puesto que los tienen sus 

 parábolas osculatrices, por las cuales vienen representadas) (1). 



Todos los resultados de este párrafo tienen sus correspondientes cuan- 

 do la curva se considera como envolvente de tangentes. En particular, no- 

 taremos que al Nodo con tangentes reales corresponde la tangente do- 

 ble con dos puntos reales y distintos de contacto; al Nodo con tangentes 

 imaginarias conjugadas, la tangente doble con dos puntos imaginarios 

 conjugados de contacto; al Punto cuspidal ordinario de orden 2, la 

 tangente de inflexión ordinaria de clase 2, ya conocidas por el lector 

 que ha estudiado ^Geometría analítica. Seguir indicando los resultados co- 

 rrelativos, es en este caso una buena gimnasia mental, pero de escaso in- 

 terés matemático. 



(1) El problema de la singularidad extraordinaria con ramas no lineales es 

 mucho más complicado. Un estudio completo, tanto con ramas lineales como 

 superlineales, puede verse en Enriques Chisini (ob. cit., libro 4.°), de cuya pá- 

 gina 345 transcribimos el siguiente resultado: «La singularidad constituida por 

 s> 1, puntos dobles sucesivos a O sobre una rama lineal, es, en general, un 

 íacnodo de especie s constituido por dos ramas lineales que tienen un eontac- 

 to de orden s. Caso particular del íacnodo de especie s es la cúspide de espe 

 cíe s, para la cual las dos ramas se confunden en una; dicha cúspide, a su vez, 

 admite como caso particular el íacnodo de especie s + 1 •» 



