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§ III. Intersección de dos curvas algébricas planas 



6. Según el teorema de Bezout, dos curvas algébricas planas (sin 

 partes comunes) de órdenes m y n, respectivamente^ 



se cortan en mn puntos. 



Recordemos que para hallar las soluciones del sistema 



fm -■=: o cpw = o 



se elimina una de las variables y se obtiene una función de la otra R{x)^ 

 verbigracia, llamada resultante, de cuyas raíces depende la solución del 

 problema. 



Supuesto que exista la resultante, su grado depende de mn, y, por 

 consiguiente, el número de las intersecciones de las curvas /y «f es una 

 función de /7z y de n\ como se trata de una función algébrica, aplicando el 

 principio de continuidad pueden hacerse degenerar /m = O y fn = O en 

 my n rectas, respectivamente, obteniéndose así como resultado que mn 

 son los puntos comunes a las curvas dichas. En la consideración de la re- 

 sultante pueden presentarse los casos siguientes: 



a) Que la resultante sea idénticamente nula por tener más de 

 mn raíces. Este caso queda excluido, porque entonces los polinomios 

 fm (a?, y) y «pn (¡c, y) tendrían un divisor común, y las curvas alguna parte 

 común, contra la hipótesis. 



b) Que el grado de R{x) sea menor de mn. En tal caso, mediante eí 

 uso de coordenadas homogéneas, se observa (como en el caso de la inter- 

 jección de una curva con una recta de su plano) que las curvas tienen 

 tantas intersecciones en el infinito (llamadas intersecciones asintóticas} 

 cuantas sean las unidades en que se ha rebajado el grado de la resultante. 



c) Que R(oc) = O tenga raíces múltiples. Puede suceder que a un 

 solo valor x — x^ correspondan a valores distintos de y, o sea que una 

 paralela al eje y corte a las dos curvas en a puntos comunes distintos. 

 Esta accidentalidad depende de la posición de los ejes coordenados, y, 

 por tanto, no es intrínseca al problema. Basta una pequeña rotación de 

 los ejes para que la R{x) = O pueda considerarse como límite de otra fun- 

 ción de X de grado mn con a raíces que tienden a la a? = ¿Cj a-pla para 



