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 la R(x) = 0. En los demás casos de raíces múltiples de la resultante 



R{x) = niym-!/n), [1] 



donde i/m e i/n son las raíces y de las dos ecuaciones 



fm (x, y) = o, cpK (x, y) = O, 



es preciso un profundo análisis de la singularidad (superior al plan que 

 nos hemos propuesto) que permita estudiar el contacto de las diversas ra- 

 mas en puntos múltiplos infinitamente próximos. Nos limitaremos, pues, a 

 las breves indicaciones siguientes: 



1.^ Si un punió es simple para las dos curvas, y éstas, además, 

 tienen en él un contacto r-punto, cuenta por r intersecciones. En 

 efecto: sus parábolas osculatrices (supuesto el punto en el origen y los 

 ejes en posición genérica), 



¿/i = a^x + 02^2 -f- • . • + ar—ix^~^ + arx^ + . . . + a^xi 

 y\ = dx + a^x^ + . . . + ar-ix^—^ + brX'^ 4- . . . + bixi 



tiflhen r puntos comunes en el origen y nos dan en el entorno de éste r raí- 

 ces iguales para la [1]. 



2." Si el punto es r-plo para /, y 5-plo para -f , pero ordinario, y con 

 tangentes distintas para ambas, las intersecciones absorbidas en él 

 son rs; porque todas las ramas son lineales y éstas se cortan en puntos 

 simples. 



3.^ Si dos ramas son en un punto de órdenes vj y vg, respectivamente, 

 y con distinta tangente, las intersecciones absorbidas en él son vi vg; pues 

 cada rama cuenta por tantas lineales como indica su orden, 



4.^ Una rama lineal y otra cuspidal ordinaria y de orden v en un mis- 

 mo punto absorben en él v o v + 1 intersecciones, según que sus tangen- 

 tes sean distintas o coincidan. 



5.^ Si ambas ramas son cuspidales ordinarias, y con la misma tangen- 

 te, de 3.^ y 4.^, resulta que las intersecciones en un tal punto son tantas 

 como indica el producto de sus órdenes, más tantas unidades como in- 

 dique el menor de los órdenes. Todas estas indicaciones se reducen a cor- 

 tar cada rama con todas las demás, considerando sus órdenes y sus con- 

 tactos. 



Rev. Acad. de Ciencias.— XVIII.— Abril-mayo-junio 1920. 28 



