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d) Dos sistemas lineales de a y ¡t., dimensiones respectiva- 

 mente, contenidos en En— i tienen al menos uu sistema común de 

 a + (X — (N — 1) dimensiones. Si a -{- ¡x — (N— 1) es negativo, los sistemas 

 dados no se cortan en general, y si es cero, tienen un solo elemento (sis- 

 tema de dimensión cero) común. 



e) Dada una relación lineal entre los coeficientes de la curva /, entre 

 dicha relación y la ecuación general / (ce, y) = podemos eliminar un pa- 

 rámetro o determinarlo en función de los restantes, obteniendo un sistema 

 con una dimensión menos. El conjunto de todas las curvas / que satisfacen 

 a la relación dicha, forman, pues, un sistema con una dimensión menos- 

 contenido en el general En-i, que queda determinado por N— 1 de sus cur- 

 vas linealmente independientes. Si son en general r condiciones lineal, 

 mente independientes, el conjunto de las curvas de En-i que las satisfa- 

 cen, forman un sistema de N— 1— r dimensiones, el cual queda determinado 

 por N — r cualesquiera de sus curvas linealmente independientes. Recípro- 

 camente, el conjunto de las curvas del sistema En— i que pueden obtenerse 

 como combinaciones lineales de N—r de ellas, linealmente independientes, 

 forman un sistema que puede determinarse mediante r condiciones lineal- 

 mente independientes entre los coeficientes de la ecuación / (x, y) = 

 en otros términos, r condiciones lineales independientes entre los 

 coeficientes de f (x, y) = O determinan un sistema de curvas expre- 

 sadles como combinaciones lineales de N^r curvas independientes 

 del sistema mismo, y recíprocamente. 



f) Si un sistema V de puntos (curvas de orden n) determinados 

 por N coordenadas homogéneas, contiene la recta (haz) determinada 

 por dos cualesquiera de sus puntos, es lineal. 



Todas estas propiedades, cuya demostración directa para el conjunto 

 de las curvas de orden n no ofrece dificultad alguna, son de uso frecuen- 

 tísimo en geometría, y como son las mismas de los espacios lineales 

 puntuales con número finito de dimensiones, usaremos siempre el tan co- 

 modísimo como fácil y riguroso lenguaje hiperespacial. El hallarse ya pu- 

 blicadas en español nos proporciona alguna brevedad en este lugar. 



En vez de sistema de r dimensiones diremos, a veces, por brevedad, 

 sistema ¡y^r, significando con ello un sistema algébrico que depende de r 

 parámetros independientes. No debe confundirse un sistema de r dimen- 

 siones con un sistema lineal de r dimensiones. Y excusado es advertir que 

 nada tiene que ver esta notación con la usada en la aritmética trasfinita re- 

 cientemente introducida en España por Rey Pastor. Por ejemplo, las cóni- 

 cas de un plano que pasan por 4 puntos, tales que 3 no estén en línea recta, 

 forman un sistema lineal con una dimensión; las cónicas que pasan por 3 



