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puntos no alineados y tangentes a una recta genérica de su plano forman 

 también un sistema qo^i pero no lineal. Cuando el sistema tiene r dimen- 

 siones, el número de los elementos del sistema que satisfacen a r condi- 

 ciones lineales independientes se llama índice del sistema. 



8. Dar un punto situado en la curva / equivale a dar una relación 



.... , « (/z + 3) j . j 

 lineal entre sus coeficientes; y dar puntos independientes equi- 

 vale a determinar la curva, puesto que su ecuación no cambia por multi- 

 plicar sus dos miembros por una constante. 



Si se dan dos puntos sobre la curva, y uno de ellos tiende (moviéndo- 

 se siempre sobre la misma) con continuidad a confundirse con el otro, o 

 sea, si se dan un punto y la tangente en él a la curva, resultan dadas dos 

 condiciones lineales entre los parámetros de la ecuación /—O. La demos- 

 tración analítica es inmediata, ya que dado un punto se pueden calcular 

 las derivadas 



df df df 



en él, las cuales, debiendo ser proporcionales a los coeficientes de la rec- 

 ta dada, nos dan dos relaciones lineales entre los coeficientes de /. Aná- 

 logamente, el paso de una curva por un punto dado P y otros 5—1 que 

 tienden a él sucediéndose sobre una paráDola de orden 5 — 1,1a cual tiende a 

 confundirse con la parábola de orden 5—1 osculatriz de la curva /(.r,^)=0, 

 nos da 5 condiciones lineales entre sus parámetros, como se ve, escribien- 

 do la ecuación de la parábola de orden 5—1 osculatriz a la curva /en su 

 punto P, y comparándola con la parábola dada, que por hipótesis debe ser 

 osculatriz. 



Exigir que un punto dado sobre una curva (el cual puede siempre su- 

 ponerse situado en el origen) sea r-plo para ésta, equivale a fijar 



condiciones lineales entre sus parámetros (5). Nótese que si un punto es 

 (5 — l)-plo para una curva, y se quiere que sea 5-plo,las nuevas relaciones 

 lineales que se añaden son s. Decir que la curva debe ser tangente a una 

 recta dada (en coordenadas puntuales) no es dar una relación lineal, como 

 se sabe por la geometría analítica elemental; y decir que debe tener un 

 punto doble (no asignando la posición), tampoco, porque el anulamiento 

 del discriminante de /no es una relación lineal entre sus coeficientes. 



El conjunto de puntos comunes (si existen) a todas las curvas f 

 de un sistema de dimensiones cualesquiera 5e llama base del sis- 

 tema. 



