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Dadas dos curvas algébricas planas /i y /a de orden ii, sin partes co- 

 munes, se cortan en /z^ puntos, por los cuales pasan las oo' curvas del haz 



n( rt -X- '^\ 



\ fx + ^2 A = 0. Por otra parte — - puntos genéricos del plano de- 

 terminan una curva / de orden w, y se tiene 



, /z (n + 3) " (^ — 3) ^ ^ . . , 

 n^ ^—= — - — 2 — ^0' SI /z > 3. 



Tal aparente contradicción (paradoja de Cramer) desaparece observan- 

 do que los «2 puntos dichos no son genéricos; esto es, no ofrecen condi- 

 ciones independientes. 



Si observamos que una curva algébrica / de orden n que pase por los 

 n^ puntos comunes a /i y /g, y, además, por un punto genérico del plano, 

 está determinada, pues otra que pasase por dichos n^ + 1 puntos tendría 

 con ella infinitos puntos comunes, tendremos el siguiente resultado: «Zas 

 curvas f de orden n que, sin partes comunes, pasan por los n^ pun- 

 tos de intersección de dos fn no tienen más que un parámetro libre^ 

 y, por consiguiente, el paso por los n^ puntos dichos, absorbe 

 n (n + 3) 



2 



— 1 parámetros. )> Por tanto, podemos enunciar el 



Teorema.— «Z-as curvas de ordenn que pasanpor 1 



puntos genéricos del plano, pasan como consecuencia por otros 



^, nin^S) ^^ (/z-l)(/z-2) 



2 



pertenecientes a la intersección de dos de tales curvas. •/> 



Corolario. — Todas las cúbicas planas que pasan por 8 puntos 

 simples de una cúbica f = O, pasan, por consiguiente, por un noveno 

 punto de la misma; resultado que basta por sí solo para construir gran 

 parte de la teoría de la cúbica plana (1). En la imposibilidad de detenernos a 

 mostrar con varios ejemplos la fecundidad del teorema anterior, indicare- 

 mos cómo con él se demuestra el teorema de Pascal. «Si un exágono 

 1-2-3-4-5-6-1 está inscrito en una cónica C, los pares de lados opues- 

 tos 12, 45; 23, 56; 34, 61 se cortan en tres puntos P, Q, R, situados 

 en línea recta.^> Considerando, en efecto, las cúbicas 



fi compuesta de C y la recta PQ; 

 fz — de las rectas 12, 34, 56; 

 /■g" — de las rectas 23, 45, 61 . 



(1) Enriques: Chisíni., libro II, cap. II. 



