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 están también sobre una curva de orden n — m. Abreviadamente, 



X/l ~t" ^fi "^ «l'mOn— m . » 



Con este teorema se llega fácilmente al de Jacobi (1). «Zas curvas 



^ . (/n-l)(/n-2) ^ . . 



de orden n que pasan por mn — ^ puntos genéricos 



de una curva de orden m, pasan, por consiguiente, por otros 

 -^ -fijos de eíla.» Todos ellos son casos particulares del teo- 

 rema de Nother que es fundamental en la teoría sobre una curva algébri- 

 ca. Por simplicidad de la demostración y con el fin de que se vea clara- 

 mente la línea del razonamiento, consideramos primero el caso en que las 

 curvas / y (p se corten en m« puntos simples y distintos todos. De este 

 modo el caso en que tengan puntos comunes múltiples, no ofrecerá ningu- 

 na dificultad. 



1 ." «Dadas dos curvas planas fm y fn de órdenes my n res- 

 pectivamente, sin partes comunes, toda curva ^i de orden I que 

 pase por los m n puntos simples y distintos comunes a fm y ^n r 

 tiene su ecuación de la forma 



hl—mfm + Bl— nffin = 0; 



y recíprocamente.^ 



Ai-m y B/_n son polinomios de grados l—m y l—n respectivamente. 

 El recíproco, o sea, que toda curva cuya ecuación sea de la forma 



Al- mfm -f- Bí— ncpn = O, 



pasa por los m n puntos comunes a fmy fn , es obvia. Para demostrar el 

 directo, consideremos: 



a) Que I sea bastante grande. En tal caso, el paso de una cur- 

 va (]</ por m n puntos, ofrece condiciones todas independientes, y como el 

 sistema de las «I»/ está contenido en el sistema de las 



Al— mfm -f- Bí— ncpn = O, 



bastará demostrar que entrambos sistemas tienen la misma dimensión. La 

 dimensión del sistema de las 



ií es ' — — — mn. 



(1) /ournal für Math. T. 15, 1836, 



