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Para calcular la dimensión del sistema 



A/H-B(p = 0, 



en el que /y (f son dadas, parece a primera vista que basta sumar los 

 coeficientes de A y B y restar una unidad; pero obsérvese que dada una 

 curva 



A/+ Btp = 0. 

 cualquiera, puede representársela también por la ecuación 



(A — Cí-m-«cp)/+ (B + Ci-m-«/)(p'= O , A — Cí-m-»<p 



y B + Ci-m-n / son polinomios del mismo grado que A y B respectiva- 

 mente, siendo arbitrarios los coeficientes de Ci-m-n- Por tanto, la dimen- 

 sión del sistema A/ + B/= O es 



(/-/7z + l)(/— m + 2) (/-/2 + l)(/ — /z + 2) 



2 "^ 2 



{l-m-n+\)(l-m-n + 2) /(/+3) ^„ , . . 

 — ^ 1 = — mn c . a . a 



Luego para / bastante grande, resulta 



'hl = kl—mfm + Bí— '« (Dn [1] 



O sea 



ifl = Bí-w <cw (mód./m) [l'j 



que nos dice que si de los mi puntos én que 4»/ y fm se cortan, m n 

 están en una curva <fn de orden n, los m (l—n) restantes están so- 

 bre otra Bi-n de orden l~n ; o sea, que para los efectos de la ínter- 

 sección con /, la curva 4» puede sustituirse por las ^ y B{\). 



b) Si el teorema es cierto para /, también para / — I. Consideremos, 

 al efecto, una 4»/ compuesta de una ^i—\ y de una recta r, la cual no pase 

 por ningún punto común a / y f. Entonces, en virtud de [a] tendremos 



/'4'í— 1 =Al—mfm. + Bl—n(On; r<bi-.-¡ = Bl-nfn (mód. fm); [2] 



. Si r divide a Bi-n el teorema queda demostrado. Si no lo divide, 

 ■para los puntos comunes a r y / resulta 



= + Bí-M <fn; Bl—n (Ow = O (mód. fm) 



(1) Este lenguaje geométrico empleado para enunciar este teorema, facilita 

 mucho los razonamientos. 



