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 y, por consiguiente, la curva Bi-n pasa por los puntos 



r = /m = O 

 y en virtud de [a] tendremos 



Bl—n = r Bi— M— 1 + afm ] 



que sustituida en la [2] nos da 



r(|>i —1 = rBi—n—i (pn (mód /m) ; 

 osea 



(];i_i = Bi-jí— icpw(mód. /to) c.d.d. 



2.° <tToda curva algébrica plana ^i que pasa con la multiplici- 

 dad i + h — 1 (a/ menos) por todo punto P i-plo í/e f m ^ A-/0/0 ufe «f ;, 

 tiene su ecuación de la forma A f + B c{> = O», donde A y B son como 

 en el caso primero. La multiplicidad de P se supone ordinaria, y A y B 

 pueden elegirse en forma que las curvas A = 0, B = 0, pasen por todo 

 punto P con la multiplicidad h — \ e / — 1 respectivamente. 



La demostración del caso segundo no ofrece ya ninguna dificultad, 

 porque no difiere esencialmente de la que hemos dado para el caso prime- 

 ro; por esta razón seremos más breves. 



El teorema recíproco es inmediato. Para el directo, enunciado, consi- 

 deremos: 



a') Que I sea bastante grande. En tal caso, las condiciones impues- 

 tas a la curva (]j/ por el paso por los puntos múltiples comunes a / y «p, se- 

 rán todas independientes, y, por consiguiente, la cuestión se reduce a 

 calcular la dimensión del sistema de las curvas 4'/ y la del sistema 



Al—mfm -\- Bí — w<pw = 0. 



La dimensión del primer sistema es 



/(/+3)" 



2 

 La dimensión del segundo es 



-2f + *) [5y81 





1( 1+3) 



7^ — - — mn 



