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mos la curva / como envolvente de sus tangentes, le corresponde una 

 ecuación tangencial /(«, v) == O, cuyo grado se llama clase de la curva, y 

 no es otra cosa que el número de las tangentes que pasan por un punto 

 genérico del plano. Por tanto, la clase de una curva es el concepto corre- 

 lativo o dual del orden. 

 Considerando la ecuación 



de la tangente a la curva / en un punto P de coordenadas (cci, y^, z-¡) dado 

 sobre ella, se observa inmediatamente que si se considera P como varia- 

 ble sobre la curva, y las (o?, y, z) como coordenadas de un punto fijo de 

 su plano, la ecuación [1] se presenta como generalización de la polar de 

 un punto P respecto a una cónica /. Se llama, pues, polar de un punto 

 A (as, y, z) respecto de una curva / de orden n, la curva de orden n — 1 

 representada por la ecuación [1]. El punto A tendrá a la vez su polar res- 

 pecto de la curva [1], a la cual se llama segunda polar de A respecto a 

 la curva /. Análogamente se define la polar r-sima. No pretendemos en- 

 trar en el estudio de la^bella, importante y no difícil teoría de la polaridad 

 de las curvas y superficies. Observemos, no obstante, que las primeras po- 

 lares de / forman un sistema lineal (red) de dos dimensiones de curvas de 

 orden n — \. 



Consideremos el sistema 



f{xi, yi, 0i) = O I 



dxi dyi dZi l 



donde x, y, z son las coordenadas de un punto genérico A del plano de 

 una curva /cuyo punto variable es «i, ¿^i, Zf Todo punto x^, y-^, z^ de 

 contacto de la curva / con una tangente que pase por un punto genérico A 

 dado, satisface al sistema [a]. Recíprocamente, excluidos los puntos para 

 los cuales 



dxi dyi dZi 

 y por consiguiente (por el teorema de Euler) también 



todo punto cuyas coordenadas satisfacen el sistema [a] está sobre una 

 tangente a /, que pasa por el punto A. 



