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Como las soluciones del sistema [b] no dependen del punto A, las in- 

 tersecciones de f con su primera polar en los puntos múltiples de aquélla, 

 deben ser excluidos en el cálculo de la clase de dicha curva. 



Si un punto Q es ordinario y doble solamente para la f, será simple 

 para su primera polar, y por consiguiente las intersecciones absorbidas en 

 él serán dos (6 . c). Si Q es cúspide ordinaria de primera especie, la curva, 

 en su entorno, viene representada por la 



¿/l2 = c^j3 [2] 



c ± o (4). 

 La polar del punto A respecto dé la [2] es 



3VccXi2-2^^i-¿/i2=0; [3 



curva que pasa simplemente por el origen y es tangente (bi-punto) al 

 eje X que es tangente cuspidal de la [2] y por consiguiente de la /. 



Como las intersecciones de / con la [3] absorbidas en el punto cuspi- 

 dal Q son tres (4 y 6, 4.°), resulta que un punto cuspidal rebaja la cla- 

 se de una curva en 3 unidades. 



Si Q es r-plo ordinario con sus r tangentes distintas, será (r— l)-plo 

 para la primera polar de /, y por tanto las intersecciones absorbidas en Q 

 serán (6) 



r(r-l)=2ÍfcFÍ 



resultado que nos dice que ün tal punto equivale, con relación a la clase 

 de /, a 



r{r-X) 

 2 



puntos dobles. 



Si Q fuese cúspide ordinaria de orden ^, en su entorno, vendrá aproxi- 

 mada la curva / por la parábola hiperosculatriz (5) 



yh = cx^+ic zh o, [4] 



Razonando como en el caso de la fórmula [3], resulta que / y su prime- 

 ra polar, la cual tiene en Q|la misma tangente que f, pero de orden A— 1, 

 resulta [4 y 6], que las intersecciones del sistema [a] absorbidas en Q se- 

 rán h{h — 1) + A — 1 ; resultado que, unido al anterior, nos da el siguiente 



Teorema.— Un punto vplo ordinario con s < r tangentes principa- 



