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les distintas, rebaja la clase de la curva en v{r — \) -{- r — 5 (1) uni- 



r(r — 1) 

 dades; o sea, equivale a puntos dobles entre los cuales r — s 



son cúspides. 



Siendo n el orden, m la clase, D y C el número de puntos dobles y 

 cúspides respectivamente para la curva f, tendremos la expresión 



m = /z(/z— 1) — 2D — 3C. [a 



Considerando la curva como envolvente de tangentes, el principio de 

 la correlación permite establecer la fórmula 



« = m(m — 1) — 2T - 31 [02] 



donde T e I son respectivamente las tangentes dobles y ie inflexión de 

 la curva, y se cuentan conforme al teorema correlativo del que acabamos 

 de enunciar. 



Observando que la cúbica plana no puede tener ninguna tangente do- 

 ble, ni dos puntos dobles, sin que deje de ser irreducible, resulta 



D + C<2 y T = 



que sustituidas en las fórmulas [<2j y a^] nos dicen que existen las clases 

 de cúbicas irreducibles siguientes: 



Cúbica sin nodos ni cúspides /z = 3;/n = 6;D = C = T = 0;I = 9 



» con un nodo n = 3; /72 = 4; D = 1; C — T^O; 1 = 3 



» » una cúspide « = 3; m = 3; C = 1,D = T=0; I = 1 



Apenas « = 4 la curva puede tener tangentes dobles sin dejar de ser 

 irreducible, y por consiguiente las fórmulas [ax y O2] ^^ bastan para clasi- 

 ficar las curvas de un orden dado . 



Si la curva posee un nodo, el sistema 



dx dy dz 



será compatible; su resultante será nula, y por tanto tendremos una rela- 

 ción entre los parámetros de la curva. Si el punto es cuspidal implica una 

 nueva condición entre los parámetros de la curva, condición que expresa 

 la coincidencia de las dos tangentes principales; por'consiguiente, el siste- 



(1) Siendo en efecto v^ vj ... v^ los órdenes de las 5 ramas existentes en 

 dicho punto r-plo ordinario, resulta 



Kr-1) + S(v. -l) = r(r-l) + r-s 



