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tersecciones de la recta BC = a con f, distintas de B y C, corresponden 

 puntos infinitamente próximos al A' sobre f'\ mas como aquéllos son 

 n — (s+ t), resulta que la f pasa por A' con la multiplicidad n—{s-{-t). 

 Además, si los n — {s + t) puntos comunes a f y a a son distintos, la 

 /' tendrá en A' n — (s + t) tangentes distintas. Como lo propio se dice 

 para los demás puntos fundamentales, resulta que el punto 



A' es /z — (s + /)-pIo \ 



B' » n — {t -\-r) » > para /', 



C » n — (r + s) » i 



todos tres con tangentes distintas. A un punto P h-p\o de f corresponde 

 un punto P' y^-plo de f. En efecto, las rectas genéricas que pasan por P 

 cortan la f en n-h puntos variables, y, por consiguiente, la f es cortada 

 por las cónicas que pasan por los puntos fundamentales, y por P' en otros 

 n-h puntos variables; mas como estas cónicas y la curva f tienen en los 

 puntos fundamentales 



/z - (s+0 + /2 - (/+ r) + « - ( r f s) 



puntos comunes, las intersecciones absorbidas en P' serán 



2{2n — r — s — t) — [n — {s -\- 1)-\- n — (t-{- r)-{- n ~ (r + s)] — 

 — {n— h)= x= h c'd. d. 



Además, si P en f es múltiple ordinario con todas sus tangentes dis- 

 tintas, también P' tiene la misma propiedad en /"; ya que a rectas distin- 

 tas que pasan por P corresponden cónicas que pasan por los puntos fun- 

 damentales y no son tangentes en P', y a toda tangente en P a una rama 

 de f corresponde una cónica tangente a /' en P', y, por tanto, f tiene h 

 ramas distintas en el punto P'. No ofrece, después de lo dicho, dificultad al 

 guna, demostrar que \a naturaleza del punto singular P no cambia por la 

 transformación cuadrática dicha; o sea, que P y P' son puntos singulares 

 de la misma naturaleza. 



§ \X.— Transformaciones birracionales entre dos curvas 



15. Sea una curva algébrica plana f{x^, x^-, ¡^3) = O [1] y considere- 

 mos en su plano X la red de curvas 



Vo(-^l' -*"2, -^"3) + -^l'flU'l- -^2. -t'g) + V-?2(-^l- '^'2. -^3) = 0. [2] 



