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Consideremos también en un plano Y los puntos de coordenadas ho- 

 mogéneas (í/o) y\'. ÍJz) dadas por el sistema 



P¿'o = <Po(-^l. ^2, -T;,) \ 



PUí = ®i(-^i, •í-2, -^3) / \ [3] 



donde «po, <pi, ^2 son formas algébricas del mismo grado. 



Las fórmulas [3] definen entre los planos X e Y una trasformación tal 

 que a un punto x genérico del plano X corresponde uno solo y del plano 

 Y: en cambio a un punto genérico ?/ de Y corresponde t (^> 1) puntos 

 fuera de los puntos base de la red [2]. Tenemos, pues (11), una corres- 

 pondencia [1 t] algébrica entre los planos X e Y. Si el punto x describe 

 una curva f, su correspondiente y describe otra curva fhn el plano Y. 

 Viceversa, considerado un punto genérico y sobre f, entre sus x^, x<¡,... x 

 correspondientes, ciertamente existe uno, x^ por ejemplo, situado sobre f\ 

 pero los otros t~\ restantes, generalmente estarán fuera de f.- Es clara, 

 pues, la posibilidad de definir una transformación birracional entre fyf 

 sin que sea birracional la trasformación entre los planos X e Y que con- 

 tienen dichas curvas. 



Esto supuesto, las curvas de la red [2] cortan sobre la curva /"un sis- 

 tema lineal 00 2 de grupos de puntos variables (fuera de los puntos de la 

 base de la red [2] situados sobre la /"): las fórmulas de transformación [3] 

 nos dan la curva f correspondiente de la f. Obsérvese que para que a un 

 punto genérico y de f correspondan v puntos distintos sobre f, esto es, 

 para que a los v puntos x-^, x^, ... x^, de f corresponda el mismo punto y 

 sobre /", es necesario y suficiente que 



cp¿ {Xi) — Kc¡, (Di (X2) = ... = K^(Oi{x^)(\) 



y, por consiguiente, que toda curva del sistema [2] la cual pase por un 

 punto genérico x^ de f deba, por lo tanto, pasar por otros v-1 puntos 

 «2, «3, ... Xv, los cuales en unión de cci forman un grupo tal que cada uno 

 de sus puntos cumple la condición expresada para «i- Por consiguiente, 

 si los puntos genéricos de f no forman grupos de v puntos tales que el 

 paso de una curva genérica de la red [2] por uno de ellos, entrañe como 

 consecuencia el paso por los demás, la correspondencia entre las curvas 

 /y f es biunívoca y algébrica, y, por consiguiente, birracional. 



(1) Con x^ viene designado abreviadamente un punto de la curva f, y 

 con (fi una curva cualquiera del sistema [2] . 



