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Nótese que los parámetros \, \, Xg, pueden considerarse como pará- 

 metros o coordenadas de las curvas de la red [2] y de las rectas del pla- 

 no Y: por tanto, a los grupos d^ puntos variables que las curvas del sis- 

 tema [2] cortan sobre f, corresponden los grupos de puntos que las rectas 

 del plano Y cortan sobre f. 



16. Sea la misma curva [1] y el sistema lineal 



de curvas en su plano X, donde ^q, «fi, ••• *r son formas algébricas del 

 mismo grado y forman un sistema oc; esto es, las (?/ / = 0, 1 ... r son 

 linealmente independientes. Consideremos las formulas de transformación 



yi=^(D/(xi, X2, Xg) (í = h, 1, ... r). [5] 



Es claro que los valores ¿^o> l/v ••• ÍJr (linealmente independientes como 

 las «p/), pueden tomarse como coordenadas homogéneas de un punto de un 

 espacio Er de r dimensiones. Supongamos que los puntos genéricos de / 

 no forman grupos tales que el paso de una curva genérica del sistema [5] 

 por un punto de un grupo entrañe como consecuencia su paso por los 

 demás del grupo. En tal caso, a la curva /"corresponde en Er una curva f 

 transformada birracionalmente de la f mediante las fórmulas [5]. (Nótese 

 que entre el plano de la f y el espacio E/- no existe la transformación bi- 

 rracional.) 



La curva f no está contenida en un espacio Er-i- 



En efecto, si tal sucediese, la ecuación de un tal hiperplano 



i^oé'o + !J-l¿/l + ••• + l^'-^r = O 



sería satisfecha idénticamente sustituyendo y i por <f¿(íCi, x^^ ccg); o sea, 



l^O?o(-í^l> ■í^2, -^3) + • • • + "^r^ÁXx , Xi, X^ = O [6j 



donde (aj^, asg, asg) son las coordenadas de un punto cualquiera de /*, sería 

 una identidad, siendo [Xq ... [x^ parámetros arbitrarios no todos nulos: re- 

 sultará, pues, que f está contenida, como parte al menos, en el sistema 

 [4], y por tanto, siendo idénticamente 



l^OÍpo(^l . -^2, -^^3) + • • • + ^r'^ÁXi , ^2, -rg) = cp/ 



la dimensión del sistema [4] no será r, contra la hipótesis. 



Nótese que considerando los parámetros \^ \ ...Ir como coordenadas 

 homogéneas tanto de las curvas del sistema [4] como de los hiperplanos 



