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de Er, resulta una correspondencia proyectiva (7) entre aquéllas y 

 éstos, y mediante la transformación birracional dada entre / y f\ a los 

 grupos de puntos variables determinados sobre / por las curvas (f del sis- 

 tema [4] corresponden los grupos de puntos que sobre f cortan los hiper- 

 pl anos de Er- Finalmente, si /z son los puntos variables de intersección 

 de una curva genérica <^ del sistema [4] sobre f, n serán también los pun* 

 tos de intersección de f con el hiperplano correspondiente a dicha curva 

 genérica tp; por tanto el orden de V es igual al número de puntos va- 

 riables de los grupos de intersección de las curvas genéricas » del 

 sistema [4] con la i. 



Las curvas f ' se llaman hiperespaciales transformadas birracio- 

 nalmente de la curva algébrica plana f . La importancia de estas cur- 

 vas se verá en los capítulos siguientes. 



§ 'yi. — Transformaciones cuadráticas y singularidad de las curvas 



algébricas planas 



17, Nóther (1) demostró que las transformaciones Cremonianas pue- 

 den reducirse a un producto de transformaciones cuadráticas. Segre 

 (1901) puso de manifiesto que la demostración de Nóther no era rigurosa 

 en el caso en que los tres puntos fundamentales se aproximen infinita- 

 mente en direcciones diversas. En el mismo año Castelnuovo demostró 

 rigurosamente el teorema de Nóther, reduciendo las transformaciones 

 Cremonianas a las de Jonquieres (2), y éstas después a las cuadráticas. 



Si bien la singularidad de las curvas algébricas és por sí misma de 

 gran interés, veamos cómo las transformaciones cuadráticas no solamente 

 sirven para definir los puntos múltiples infinitamente próximos sobre 

 una curva algébrica /", sino que también permiten pasar de una curva 

 con singularidades cualesquiera (ordinarias o extraordinarias) a otra con 

 puntos múltiples ordinarios solamente. A tal efecto, examinemos la 

 cuestión para los puntos dobles, ya que el método se extiende al caso 

 general de puntos múltiplas. 



Sea A un punto doble de una curva f{x^, scg, ccj) = O de orden n. 

 Elijamos el triángulo fundamental A, B, G en forma que la recta BC = a 



(1) Math. Ann. Bd. V. 



(2) Estas transformaciones cambian las rectas en curvas de un cierto orden 

 arbitrario V dotadas de un punto base (v— l)-plo y de 2v — 2 puntos base 

 simples. 



