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corte la curva f en n puntos distintos entre sí y de ^B y C, y que las rec- 

 tas AC = b, AB = c la corten en /z — 2 puntos distintos entre sí y del 

 punto A. En tal caso, los puntos A', B', C correspondientes en el plano 

 transformado, son en la curva transformada f, n-p\o el A', (n — 2)-plos 

 B' y C', y todos tres con todas sus tangentes distintas (14). Pueden pre- 

 sentarse los casos siguientes: 



a) La recta B' C corta la f en dos puntos simples distintos. En 

 tal caso, la curva f tiene en A un punto doble con tangentes distintas, 

 y en el entorno de primer orden, dos puntos simples infinitamente 

 próximos. Un tal punto se llama Nodo simplemente. 



b) Los dos puntos comunes af y B'C se confunden en uno A'i, 

 en el cual son .tangentes. En tal caso, f tiene en A una sola tangen- 

 te AAi que absorbe tres intersecciones con f. En efecto, a la cónica com- 

 puesta de las rectas AA^ y BC corresponde la recta A'A'i,' y por consi- 

 guiente (como a la recta BC corresponde el entorno de A'), a la rec- 

 ta AAj corresponde la A'A'i que no teniendo en A'i más que una inter- 

 sección con f, nos dice que AAj corta la fen Aj en un solo punto; o sea, 

 que AAi absorbe solamente tres intersecciones en el punto doble A. 

 Como no hay ninguna otra recta distinta de AA^ en las mismas condicio- 

 nes (por ser único el punto A'i), la f tiene en A una sola rama ordinaria 

 de orden 2, o sea, una cúspide. Resulta, pues, que la f tiene en A un 

 punto doble con una sola tangente principal, y en el entorno de 

 primer orden un punto simple infinitamente próximo. Tal punto 

 doble se llama cúspide ordinaria o de primera especie. 



c) La recta B' C corta .la V en dos puntos coincidentes en uno 

 que resulta doble y con tangentes principales distintas a la i'. En 

 este caso, si repitiendo la transformación cuadrática para esta curva f, 

 al nuevo punto doble A\ que ahora se .nos presenta, corresponden en el 

 plano de la f" sobre la nueva recta B"C" dos puntos simples distintos, 

 resulta que la f tiene en el punto A un punto doble, en cuyo entorno 

 de primer orden tiene otro punto doble, y en cuyo entorno de segun- 

 do orden tiene dos puntos simples. Un tal punto A se llama tacnodo 

 o nodo de segunda especie. 



d) El punto A'i sobre f es cúspide. Es decir, las dos tangentes 

 a'f en el punto doble A'^ del caso c) se confunden en una: en tal caso 

 se repite la transformación cuadrática, y si tal punto A'i resulta una cús- 

 pide de primera especie, tendremos que la curva f tiene en A un punto 

 doble; en el primer entorno de A una cúspide de primera especie, y 

 en el segundo entorno un punto simple. Un tal punto se llama Cúspide 

 de segunda especie. 



