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En general se dice Nodo de especie k un punto doble que tiene infi- 

 nitamente próximos, en el entorno de primer orden, un nodo de espe- 

 cie k — 1, en el entorno de segundo orden un nodo de especie k — 2, etcé- 

 tera, etc.: en el entorno de orden k~\ un nodo ordinario, y en el entorno 

 de ordeff k dos puntos simples. Lo propio se dice para la Cúspide cam- 

 biando la palabra Nodo por Cúspide y añadiendo: «en el entorno de 

 orden ^ un punto simple». 



18. Los resultados obtenidos para los puntos dobles se extienden 

 completamente al caso de los puntos múltiplos, sean ordinarios o extraor- 

 dinarios. 



Sea A un punto r-plo de /"de orden /z. El triángulo fundamental 

 A, B, C de la transformación cuadrática se elige (como en el caso de 

 ser A doble) de modo que los n puntos comunes a /" y BC sean distintos 

 entre sí y. de B y C, y que A C y AB la corten en /z — r puntos distintos 

 entre sí y del punto r-plo A. Con tal transformación, en la curva trans- 

 formada f se introducen tres nuevos puntos múltiples ordinarios con 

 tangentes distintas; uno /z-plo en A', otro {n — /■)-plo en B' y otro 

 n — r-plo en C; por otra parte, los puntos múltiples externos a las rectas 

 fundamentales, no cambian su naturaleza en la transformación cuadrá- 

 tica (14). 



Procediendo, pues, como en el caso del punto doble A pueden presen- 

 tarse los casos siguientes: 



a) Que los r puntos A'^, A'2 .-. AV comunes a la recta B'C y la cur- 

 va /', sean todos distintos. Si tal sucede, el punto A es r-plo ordinario y 

 con todas sus tangentes principales distintas. 



b') Si la recta B'C es tangente a la curva f en un punto A'i con un 

 contacto /z-punto, el punto A es una cúspide de orden x\ — \ y de prime- 

 ra especie, sin dejar de ser A /z-plo ordinario. 



c') El caso general tendrá lugar cuando de los r punto's comunes a la 

 recta B'C y a la curva f sean solamente v distintos entre sí y de B' y C, 

 El número v < r de dichos puntos A'i A'2 ... A'^, es igual al número de las 

 tangentes principales distintas a la curva /en su punto A, las cuales son 

 por ejemplo: «i, a^-.. «v. Tantas veces cuenta un punto A'í (/= 1, 2 ... v) 

 sobre f cuantas su tangente correspondiente ai entre las tangentes a la f 

 en el punto A, designando éstas con a/ tendremos 



V 



2 ai = r. 



Llamando p^ la multiplicidad de los puntos A'¿ en la curva f, como puede 

 suceder que en un punto simple A'^- sea B'C tangente (con contacto 



