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5-punto 5 < /-) a f\ resulta constantemente para los valores p¿ y a¿ corres- 

 pondientes la expresión. 



y, por consiguiente, 



P¿<«¿ 





Expresión que nos dice que, mediante una transformación cuadrá- 

 tica, la curva f puede transformarse en otra f para la cual el punto 

 A, x-plo de f, se transforma en otros A'i, A'g... A'^ de multiplicidad 

 menor o igual (esto último sólo puede suceder cuando v = 1») sin in- 

 troducir otros puntos de singularidad especial. I 



Con los puntos A/ de f que no sean simples se procede a su vez co- 

 mo se ha hecho con A, transformando la curva f en otra f". Si ésta tu- 

 yiera a su vez todavía algún punto A'¿í que no fuese múltiple ordinario, 

 se pasa a una cuarta curva f"\ y así sucesivamente hasta llegar a una 

 curva f^*'^ trasformada de la f y que no tenga ningún punto que no sea 

 múltiple ordinario. 



Para la demostración completa del resultado indicado resta únicamente 

 demostrar que el proceso indicado de transformar una curva /'en otras no 

 es indefinido, o sea, que basta efectuarlo un número finito de veces. Va- 

 rias demostraciones pueden verse en Enriques Chisini, op. cit, Vol. II. 



19. Lo dicho nos permite definir geométricamente los puntos múlti- 

 ples infinitamente próximos a uno dado en los entornos de primero, se- 

 gundo, etc., órdenes de éste. 



Hemos visto que al entorno de primer orden, dado por las tangentes 

 del punto A, corresponden los] puntos A'^, A'2, ...'A'v situados sobre la 

 curva f y la recta B'C. Moviendo un poco la curva f de modo que K\ 

 A'a ... A'y no estén ya sobre B'C, pero tan próximos a ella como se quiera, 

 tendremos que a la curva /' después del movimiento le corresponderá 

 otra curva */ tan próxima a la fcomo se quiera, pero distinta de ella; mas 

 como los puntos externos a las rectas fundamentales se cambian en puntos 

 externos de igual multiplicidad, la curva f tendrá en los punto A^, Aa, ... A,^ 

 infinitamente próximos al A y homólogos de A'i, A'g ... A'^, la multiplici- 

 dad pi, p2 ••• Pv respectivamente. Además, f tiene en A un punto r-plo, 

 porque la f, después del movimiento, corta la recta B'C en r puntos de 

 los cuales «^ están infinitamente próximos al A'i, ol^, infinitamente próxi. 

 mos al A'2, etc. Se puede, por consiguiente, considerar la curva /"como 

 límite de una curva fque tiene en A un punto r-plo ordinario y en el entor- 



