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no de primer orden de este punto los puntos Ai, Ag, ... A^ infinitamente 

 próximos al A y de multiplicidad pi, pg, ... ¡3^ respectivamente. 



Las mismas consideraciones pueden repetirse para los puntos A'i, 

 A'2 ••• A'v de f, que no sean, simples, después para sus correspondientes 

 en f\ y así sucesivamente. Las sucesivas transformaciones cuadráticas 

 en la forma indicada sirven, pues, para pasar del entorno de primer orden 

 de un punto al entorno de segundo orden, del entorno de segundo orden 

 al de tercer orden, etc. , hasta encontrar un entorno con puntos simples 

 solamente. 



El orden más elevado del entorno en que ya no se encuentran puntos 

 múltiples de f, se llama especie de la singularidad del punto A, la cual 

 viene, por tanto, carecterizada por los puntos infinitamente próximos 

 existentes sobre /"en los diversos entornos del punto cuya singularidad se 

 desea conocer. 



Como la definición dada de puntos infinitamente próximos no está liga- 

 da a una determinada transformación cuadrática, por la arbitrariedad exis- 

 tente en la elección de esta transformación, resulta que la descomposición 

 de un punto múltiplo de singularidad especial, o también el número de la 

 especie de singularidad, es una característica del punto múltiplo mismo, 

 independientemente de las transformaciones cuadráticas que no son más 

 que un instrumento de análisis. (1) 



De aquí resulta que las sucesivas transformaciones cuadráticas permi- 

 ten la eliminación de toda singularidad especial de una curva /"transfor- 

 mándola en otra con puntos múltiples ordinarios solamente, esto es, con 

 puntos que siendo 5-plos, por ejemplo, tienen sus tangentes con contacto 

 (5 + l)-punto solamente. Tenemos, pues, el siguiente 



Teorema.— Mediante un producto de transformaciones cuadráti- 

 cas planas, se puede' transformar una curva f con puntos de singula- 

 dad cualquiera, en otra f con puntos singulares ordinarios sola- 

 mente. 



(Coníinuará.) 



(1) El estudioso que desea profundizar sobre este punto y ver que cuando 

 los puntos infinitamente próximos a uno múltiplo A, no están situados sobre 

 ramas lineales, sino sobre ramas de orden v > 1, no ofrecen condiciones inde- 

 pendientes a una curva que deba contenerlos, lo cual no sucede cuando tales 

 puntos se suceden sobre ramas lineales de la cury^, dando lugar a los llama- 

 dos puntos satélites, vea Enriques Chisini, Op. cit., Vol. 11. 



