— 438 — 



Las formas positivas y negativas se designan con el nombre de formas 

 definidas. 



D. — Una nueva forma cuadrática que resuelve el problema de en- 

 contrar el número de raíces reales de una ecuación 



El problema de conocer el número de raíces reales de una ecuación, 

 resuelto primeramente por Sturm, fué considerado de nuevo por el profe- 

 sor Hurwitz, quien le halló elegante solución valiéndose de una forma 

 cuadrática especial obtenida del modo siguiente: 



Desarrollemos según las potencias decrecientes de z el cociente — 7— 



y designemos la parte que contiene las potencias negativas de z por 



Co^-i + c,0-2 + c,z-^ + ... = Sj___ c,^-''-' 



Eligiendo una función 6 (z) entera de grado (n — 1) cuyos coeficientes 

 sean variables arbitrarias e independientes 



e(^) = 4 + kz + t^z^ + ... + tu-i z»-í 

 efectuemos el producto 



del cual se separa el coeficiente de z^, que resulta ser una forma cuadrá- 

 tica de las variables ti, th 



sirviendo para la mayor facilidad en las operaciones la primera de estas 

 formas cuadráticas que corresponde a X = O, 



Las permanencias y variaciones de la serie de menores principales del 

 determinante de esta forma, permiten calcular el número de raíces reales 

 de la ecuación dada / (z) = O, cuando la forma T se calcula para 



O(^)-(0-a).r(^) 

 siendo a un número real cualquiera que no sea raíz de / (z) = 0. 



