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ecuación, podremos lomar por curva / las líneas que limitan dicho semi- 

 círculo izquierdo, comprobándose entonces que sobre este contorno mix- 

 tilíneo existen 2n puntos £(/;$, T) y 2n puntos E(/';T,0), ya que la ecua- 

 ción F {z) tiene n raíces. 



Demuéstrase en Álgebra que cada una de las dos semicircunferencias 

 en que el eje vertical cartesiano de las y divide al círculo /, contiene 



n puntos E(/; $, ^F) si /z es número par. 

 n puntos £(/■; Y, O) si n es número impar. 



Resultará entonces, según lo establecido en el párrafo anterior, que 

 por estar todos los puntos raíces de F {z) contenidos en el semicírculo iz- 

 <}uierdo, el diámetro vertical contendrá 



n puntos E(/; $, *?) si /z es número par 

 n puntos E(/; f", O) si n es número impar. 



Teniendo en cuenta el valor [2] que en cada caso poseen las funciones 

 $ y ^, claro está que el diámetro vertical contendrá siempre n puntos 

 raíces de Fj = 0. Como, por otra parte, Fi es de grado n, deduciremos 

 entonces que Fj (y) y su derivada F/ {y) no pueden anularse simul- 

 táneamente; es decir, que Fj (jj) y Fj' {y) son funciones primas en- 

 tre si. 



Los puntos E(/; $, ^) están caracterizados por la condición 



[/> ^] = /'^ • ^V — f'v ■ ^x = $v 



ya que sobre el diámetro vertical se tiene f=x = 0. Como además n es 

 par, poniendo por O y ¥sus valores [2], resultará 



-P'i(í/)-P2(y)<0 [3] 



Cuando n es impar, los puntos contenidos en el diámetro vertical son 

 E(// W, <D), los que están definidos por la desigualdad 



[/•,¥]. $<0 



que también se transforma en la [3] sustituyendo los valores dados para 

 ^ y T en las relaciones [2]. 



El resumen de este análisis es que siempre, ya sea n par o impar, las 

 funciones Fi (y) y Fg (y) son primas entre sí, Fj (y) es de grado n, Fj (y) 

 y Fi' (í/) no tienen divisor común. Además, se verifica constantemente la 

 desigualdad 



P'Áy)-P2(y)<0 



para todas las raíces de Fj (y) = 0. 



