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Tales son las condiciones generales encontradas por Hurwitz para que 

 todas las raíces de la ecuación F (^) = O estén contenidas en el semicírcu- 

 lo de la izquierda; es decir, que tengan su parte real negativa. Al tratar 

 de traducir estas condiciones en función de los coeficientes de la ecuación 

 dada, es cuando nos separaremos de Hurwitz, ya que entonces utilizare- 

 mos nuestra forma cuadrática C en lugar de emplear la forma T de tan in- 

 signe matemático. 



Vamos a considerar aisladamente los dos casos que pueden presen- 

 tarse con relación a la paridad del número n. 



/^.—Condiciones cuando n es número par 



El coeficiente an entrará en la función Fi (^), así como ün-i estará 

 comprendido en Fg {y). Podremos entonces escribir 



Fi(¿^) = + a« + a«-2 . y"^ ± an-4. . ¿/* + ••• | r.i 



^é<y) = ± ««-1 • y ± ^«-3 • y^ + c«-5 . y^ + ... í -^ 



Recordando que se verifica 



por la definición misma deeuleriana, resultará, en virtud de [3], que para 

 cada raíz de Fi(¿/) = se tendrá la desigualdad 



■ E,F,(y)>0 [5] 



\ y I 



Haciendo 



fiy) = PÁy), ^(y) = —^ = ± a«-i ^ a«-s • y^ ± 

 y 



se ve claramente qua las funciones /(y) y ^ {y) reúnen todas las condicio- 

 nes necesarias y suficientes para que la forma cuadrática C, obtenida se- 

 gún antes expusimos, resulte una forma positiva. 



Desarrollando el cociente j-f-. según las potencias ascendentes de la 



variable y, para lo cual se comenzará la división por los términos indepen- 

 dientes del numerador y denominador, se tendrá que no existen términos 

 en los que la variable y entre con exponente impar; es decir que 



luego 



