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Tiores principales de C y G" en determinantes expresados con los coefi- 

 cientes de la ecuación F (z) = O, Pero es inútil desarrollar tales cálculos 

 al objeto de conocer la ley general, que es su resultado, la cual puede 

 enunciarse como sigue: 



II. Para que la ecuación de grado par F (z) = O no tenga más 

 que raíces con parte real negatíua, es condición necesaria y sufi- 

 ciente que el coeficiente an y los n primeros términos de la cadena 

 de menores principales A^, A2, A3... An del determinante 

 ün-x a„ O o O O .. 



<3«— 3 <3«— 2 a«— 1 Gn O O . . 



<2» — 5 Qn — 4 Qtr- 3 <2« — 2 ^" — 1 ^'^ ' ' 

 Q« — 7 Ün — e üu — 5 ün — 4 Clft — 3 G« — 2 • • 



sean todos positivos. 



A primera vista parece que la anterior proposición es un nuevo teore- 

 ma; pero fácil resulta convencerse de que no es en el fondo otra cosa que 

 el mismo teorema de Hurwitz expresado en forma distinta en que lo hizo 



su ilustre autor. Convirtiendo en la ecuación dada la variable z por — , se 



z 



llega a la ecuación transformada 



f{z') = a„z'„ + ün-iZ'"-^ 4- an—¡z'"-^ + ••• + a^z' + a,, = O [9] 



<jue se obtiene de la primera cambiando a^ en an-, a^ en g«-i, «2 en an—2> 

 Gg en a«-3..., etc. 



Pero demostrándose fácilmente que la inversa de una cantidad imagi- 

 naria ( — a + b V— 1 ) de parte real negativa ha de ser forzosamente de la 

 forma ( — c + dV—\) en donde c > O, claro es que si todas las'^raíces 

 de la ecuación dada tienen parte real negativa, estarán también en igua- 

 les condiciones las raíces de la ecuación [9], a la cual será asimismo apli- 

 cable el teorema de Hurwitz, y es entonces evidente que dicha aplicación 

 conduce al determinante [8]. 



G.— Condiciones cuando n es número impar 



El coeficiente an forma parte de Fg (y), así como an-i entrará en 

 Fj (y). Analizando la estructura de ambas funciones Fj y Fj, podremos 

 escribir en el caso presente 



Fiiy) = ± ün-i . y + an-s • y^ ± ««-5 • y^ 

 Piiy) = ± an + an-2 . y^ ± On-i . y* =f ... 



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