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Siendo, pues, el primer término Cq del determinante E, positivo, para 

 que C resulta forma negativa, será preciso que todos los restantes meno- 

 res principales de E sean alternativamente negativos y positivos. Tendre- 

 mos así que ^o . Sg < O, luego e^KO. Del mismo modo 



62(^0 • 64 — ^2^ 



fio O ^2 

 O 62 O 



62 O 64 



>o 



de donde go ^4 — ^2^ < O- Análogamente 



(^064 — e^^) . (62*0 — ^4^) 



«2 



O 



O 



«2 



o 



64 



«2 



O 



64 

 o 



<0 



por lo que €2 e^ — e^>0. 



Prosiguendo de este modo llegaremos a la conclusión de que las dos 

 series de menores principales de los dos determinantes 



E' = 



^~l Bn+l 



en—l ew+1 en+5 e2n—2 



escritas una debajo de otra no presentan por sus signos más que variacio- 

 nes — variaciones, o sea que adoptarán el aspecto, en cuanto a signos se' 

 refiere 



-f- 1 ••■ menores de E' 



1 h ••• menores de E" 



Tendremos así el siguiente nuevo teorema: 



III. Para que la ecuación de grado impar F (0) = O admita so- 

 lamente raíces con parte real negativa, es necesario y suficiente 

 que la doble serie formada por los menores principales de los de- 

 terminantes E' y E" no presente más que variaciones — variaciones, 

 siendo positivo su primer término. 



Expresemos ahora esta nueva proposición en función explícita de los 

 coeficientes de la ecuación dada. Para ello igualemos el producto 



(«o -j-e^.y^ + Bi .y*^ + ...) . (an-i — an-% . y^ + On-b-y^—...) 



al polinomio 



an — Un— 2 . y^ + ati-i . y* — an—e . ¿/^ + ... 



