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No es preciso llevar más adelante este cálculo para deducir la ley ge- 

 neral que se busca, pues visto queda que en esta serie de determinantes 

 formados con los coeficientes de la ecuación dada, cada dos términos con- 

 secutivos son alternadamente positivos y negativos; es decir, que tiene 

 por sus signos la forma +, +, — , — , +, -f ... 



Queda así demostrado el siguiente nuevo teorema: 



IV. Para que la ecuación de grado impar F (0) = O no tenga 

 más que raices con parte real negativa, es condición necesaria y 

 suficiente que en la serie formada por el coeficiente a-n-i y los n pri- 

 meros menores principales Aj, A2, A3, ... Aw del determinante 



cada dos términos consecutivos sean alternadamente positivos y ne- 



gativos. 



Salvo las dos primeras desigualdades, las restantes que se obtienen de 

 aplicar el anterior teorema son sucesivamente iguales y diferentes de las 

 que resultan de expresar el teorema de Hurwitz para la ecuación 



/[^] 



1^)- 



Dice, en efecto, esta proposición que todos los menores principa- 

 les del determinante [8] son positivos, ya sea n par o impar, cuando 

 todas las raíces de la ecuación dada tienen parte real negativa; y fácil es 

 observar que las desigualdades relativas a los menores principales de [12] 

 y [8] compuestos de un número par de columnas son idénticamente igua- 

 les entre sí, mientras que son distintas las desigualdades correspondien- 

 tes a aquellos menores que en ambos determinantes [12] y [8] están for- 

 mados de un número impar de líneas. Esto no obstante, tan ciertas son 

 unas condiciones como otras, pues lo que prueba tal desacuerdo es que el 

 teorema IV es una proposición distinta de la de Hurwitz, con la cual tie- 

 ne una íntima relación por cuanto de las desigualdades expresadas por el 

 determinante [12] y el enunciado IV pueden deducirse las que caracteri- 

 zan el enunciado de Hurwitz. Resulta, por tanto, dicho brevemente, que 

 el teorema de Hurwitz es corolario de nuestra proposición IV, según no 

 es difícil comprobar. 



