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pone implícitamente que la ecuación F[z] = O no admite raíces múltiples, 

 pues con tal hipótesis es como se establece en Algebra que sobre la cir- 

 cunferencia /"de radio suficientemente grande existen 2/2 puntos E (/"; 0,^) 

 y otros 2n pimtos E (/; T, O), Los- teoremas 11 y IV quedan, pues, demos- 

 trados para el caso en que el discriminante de F[^] es diferente de cero. 

 Veamos ahora cómo puede salvarse tal restricción, a fin de que ambos 

 enunciados, al igual que los V y VI, sean generales. 



La demostración la haremos con relación al teorema II, ya que puede 

 adaptarse íntegramente para el IV. 



Si los determinantes del teorema II son todos positivos, la forma cua- 

 drática C será positiva, y, por consecuencia, las funciones Fi (i/) y Fg (i/) 

 no podrán tener raíces comunes; resultará, pues, que la ecuación ¥(2) = O 

 no admitirá raíces que, como / . i/, sean puramente imaginarias, sin parte 

 real alguna. Además, F(^) = O no puede tener raíz con parte real positi- 

 va, pues, de lo contrario, se podrían hacer variar los coeficientes de F en 

 cantidades bastante pequeiías para que los menores del determinante (8) 

 permaneciesen positivos, para que F(^) = admitiese siempre raíces 

 con parte real positiva y para que la nueva función F' no tuviese 

 raíz múltiple alguna. Resultados que están en contradicción con el teo- 

 rema II. 



Recíprocamente, si F(z) = O no tiene más que raíces imaginarias con 

 parte real negativa, ninguno de los menores del determinante (8) puede . 

 ser negativo. Será preciso demostrar que haciendo esta suposición sobre 

 las raíces de F(^), ninguno de dichos determinantes puede ser cero. Ad- 

 mitamos, por ejemplo, que 



ün—i Qn O O 



<2k-3 an—2 Qn—i ün 



an—b ün—i an—3 an—2 



an—7 Qw— 6 Gw— 5 <3w— 4 



sea el primer menor nulo. Substituyamos entonces F por F' = F + eO; se 

 podrán determinar los coeficientes arbitrarios de O de tal modo que para 

 valores positivos o negativos de s suficientemente pequeños, la función F 

 no tenga ya raíces iguales, y que las partes reales de estas raíces per- 

 manezcan negativas. 



A la función F' corresponderá el menor A'4 que ordenaremos en su 

 desarrollo con relación a las potencias de e; el coeficiente del término 

 en £ no es idénticamente nulo; por tanto, se podrá todavía elegir el signo 

 de £ de modo que A'4 sea negativo. Tal resultado está en contradicción 

 con el teorema II. 



