0 A 
Empleando el procedimiento clásico de Fourier para las series trigono- 
métricas se llega a las siguientes igualdades: 
99 =/ "Pir, Da, [2] 
2T 
TC MA = ye P(r, 0) cos mbd0 (m + 0), 
2T 
rr =— f, P(r, 8) sen mbad (m +0). 
Multiplicando esta última por ¿ y sumando a la precedente, resulta 
2T 
m = —imb 
arman = f Pr, B)e-imbao, 
de donde 
arma] < f, (Pr, Das. 
Por adición y sustracción, esta igualdad y la (2) dan 
arman) + 209 < f "(Pr 0) +P(, 0)J0, 
rrm|am| — 209 < | AUUEGS 0) —P(r, 0)]a8. 
En la primera salta a la vista que la cantidad [subintegral se anula 
cuando P es negativo y se hace igual a 2P cuando P es positivo. Desig- 
nando por A(z) el máximo de los valores positivos de P(r, 0), cuando 
siendo r constante, 0 varía de O a 2x, se tendrá 
TA |Qm| + 2109 < ATA(1). 
De un modo análogo, siendo B(r) el máximo de los valores positivos 
de — P(r, 0) para r constante y 0 variable, la segunda desigualdad nos 
dice que 
TA Am] — 210 < AMB). 
De estas desigualdades resulta que si P(r, 6) es siempre algébrica- 
mente inferior a Mrz, siendo M y q fijos, am será nulo para m > q; y F(z) 
se reduce a un polinomio. Luego, cuando F(z) no es un! polinomio, cabe 
afirmar, no solamente que su módulo llega a ser mayor que cualquier nú- 
mero asignable, sino también que su parte real (y también, naturalmente, 
su parte imaginaria) toma todos los valores superiores a Mrz. 
De la definición dada para las funciones enteras se desprende la gran- 
de analogía que ha de existir entre estas funciones y los polinomios, y es 
cuestión interesante averiguar cuáles son las propiedades fundamentales 
de éstos que subsisten para aquéllas. E 
Desde luego, el teorema de Gauss, relativo a la existencia de una raíz, 
