cae en defecto. La función e*, representada por una serie convergente en: 
todo el plano, no puede anularse para ningún valor de z. 
El hecho es evidente para los valores reales y positivos de z. Para los. 
restantes valores, no hay más que observar que si esta función se anulara 
para z = 2,, siendo 
e1e3-21 = ez 
y e:—a finito, deberia tenerse es = O para cualquier valor de 2. 
Esto nos lleva como de la mano a indagar cuál ha de ser la forma de 
una función entera F(z) tal que la ecuación 
F(2)=0 
no tenga raíces. Esta función ha de ser de la forma 
F(z) = es(2) 
en que G(z) es una función entera. La razón es obvia: no hay más que 
observar que la derivada logarítmica de F(z) ha de ser una función entera. 
Consideremos una función entera desprovista de ceros; será de la 
forma 
F(z) = ec(2) 
en que G(z) es función entera o, como caso particular, un polinomio. 
Si G(z) no es un polinomio, hemos visto que la parte real de G(z) llega 
a ser superior a Mr (siendo M y q arbitrariamente grandes); luego el 
módulo |F(z)| llegará a ser mayor que e“»?. Resulta, pues, que esta fun- 
ción tiene un crecimiento más rápido que si G(z) fuera un polinomio de 
grado determinado. De ahí se deduce que entre las funciones enteras pri- 
vadas de ceros la más sencilla es la función ez. 
Por eso dice Borel que el estudio de los ceros de las funciones ente- 
ras hubiera conducido a introducir la función exponencial y a otorgarle un 
lugar preeminente en el Análisis, si no lo hubiera tenido hace ya más de 
un siglo, como consecuencia de la consideración de otras muchas cues- 
tiones. 
Los factores primarios de Weierstrass 
«La principal contribución de Weierstrass a los progresos de la teoría: 
de funciones es el descubrimiento de los factores primarios». Esta es la 
opinión de Poincaré, y así la expresa en el estudio de la obra de Weiers- 
trass publicado en 1899 por las Acta Mathematica. 
