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- Reseñaremos sucintamente las ideas del genio de Westfalia. 
Desde D”Alembert, sabemos que un polinomio P(z) de grado m tiene 
m ceros. Dados estos m ceros, queda determinado el polinomio, salvo un: 
factor constante A: se tiene, en efecto: 
P(z. = A(z — as)J(z — 09)...(2 -- Gm). 
Karl Weierstrass aplicó su ingenio a descubrir si existía una propie- 
dad análoga para las funciones enteras. - 
Supongamos que los ceros de F(=) son 
Aj, Ag, -.., Ur, ... 
rl 
Podemos afirmar, desde luego, que el módulo de a, ha de crecer inde- 
finidamente con nr, puesto que en toda región finita del plano no pueden 
existir infinitos ceros. En efecto, si tal ocurriera, el conjunto de los ceros 
contenidos en esta región debería tener a lo menos un punto límite (teore- 
ma de Bolzano), y entonces existiría una infinidad de ceros en todo círculó 
dé radio arbitrariamente pequeño y con centro en dicho punto límite, y la 
función no podría ser regular en este punto. 
Esto nos permite suponer ordenados los ceros según los módulos cre- 
cientes; los ceros múltiples, si existen, se suponen repetidos cuantas ve- 
ces indique su grado de multiplicidad y ordenados ad libitum. 
Si hacemos f » = |Q | se verificará 
1 EA > ES 
Consideremos el producto infinito 
sa ltd lc 
que suponemos absoluta y uniformemente convergente. Este producto re- 
presenta una función entera que tiene los mismos ceros que F(z). De ello: 
resulta sin gran esfuerzo que el cociente NE e representa una función 
entera desprovista de ceros; luego 
F(2) 
== (z) 
MEAN 
en cuya expresión G(z) es una función entera (que en determinados casos. 
puede reducirse a un polinomio o a una constante). 
Obtenemos de esta manera como expresión de F(z) 
Fl = eso pre 3h ses =)-( a za E 
