pe e 
La condición para que Il (z) sea absoluta y uniformemente convergen- 
te es que la serie positiva 
- Me 
e 
z 
sea convergente. En efecto, tomando |2| < r, para verificar la convergen. 
cia absoluta y uniforme de II(2) basta comprobar la convergencia del pro- 
«ducto infinito 
1 ; 
y esta convergencia es una consecuencia inmediata de la de 
= M8 
yl 
F; 
El caso en que tiene lugar la convergencia de esta serie es un caso 
particularísimo. La resolución del caso general presentaba dificultades 
graves. A Weierstrass se le ocurrió el medio de obviarlas, medio que le 
fué sugerido por el estudio de la función inversa de la integral euleriana 
de segunda especie. 
En 1856 (Uber die Theorie der analytischen Facultáten, Mente 
fr die reine und angewandte Mathematik. B. 51.) había obtenido la 
«siguiente expresión: 
Se A+1 
cele z Mi == ES 
Estudiando esta fórmula observó que el producto infinito 
Aa 
que parecía representar la función porque cada uno de sus factores se 
anula en un cero de ésta, es divergente para todo valor de z, pero que 
puede convertirse en un producto convergente para todos los valores de 2, 
multiplicando cada factor por una exponencial cuyo exponente sea función 
lineal. Guiado por esta idea llegó a demostrar (Zur theorie der eindeuti- 
gen analytischen Funktionen, 1876) que en todos los casos puede ha- 
llarse una exponencial adecuada para hacer convergente el producto infi- 
nito que figura en la expresión general de una función entera (1). 
(1) Vivanti reclama la prioridad para Betti, quien en 1860 (La teorica delle 
funzioni elliftiche e sue aplicazioni, Annali di mat., t. MI) había llegado a este 
resultado en dos casos particulares de suma importancia, para las funciones 
sen z y 0Z, siguiendo un método susceptible de generalización. 
