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El teorema de Weierstrass puede enunciarse del siguiente modo: 
«Es posible hallar una sucesión de números enteros positivos 
P1> P2) :-.) Pm, ..- 
tales que la serie de términos positivos 
0 
Wi 
converja, cualquiera que sea r.» 
Weierstrass lo comprueba tomando p, = n. Basta observar que en tal 
caso, la raíz n”* del término general, que es , tiende a cero para 
n—.o0. 
También se asegura la convergencia tomando, como indica Borel, 
(n= Ellog n). 
En efecto, se tiene 
([E)""= e (087108 ry) logs __ p 927-1087 y. 
Tr 
y como quiera que r, aumenta indefinidamente con n, los términos de la 
serie considerada llegan a ser, a partir de un cierto orden, inferiores a los 
de la serie 
1 
ra 
en que q es un número cualquiera superior a 1. 
En el caso de que existiera un número entero p tal que la serie 
1 
a 
La 
sea convergente, se puede tomar todas las p iguales a p. 
Lo interesante es poner de manifiesto que las p pueden siempre hallar- 
se de modo que hagan convergente la serie 
did o 
Ue 
Se da el nombre de factor primario de género k a la siguiente ex- 
presión: 
4 A uk 
Pa(a) =(1 qe erat” a 
Se observa que el polinomio exponente de e está elegido de modo que 
compense al primer factor, pues está formado por los £ primeros términos 
1 
del desarrollo de log ei En esto estriba la fecundidad de la idea de: 
Weierstrass. 
