y suponiendo |u|< 1, se tendrá 
¡p¿(1)] < |pjut+1] — [Baut+2| +... 
sa lt 
juk+1| 
l— al 
pg (a) < 
Llegados a este resultado, volvamos a considerar la serie de núme- 
ros p elegidos de manera que la serie 
es 
16 Vis 
-sea convergente. 
Se trata de demostrar que el producto infinito 
Me) =P Pre E Pol) 
es absoluta y uniformemente convergente para |z|<r. 
Para demostrar esta convergencia, siendo 
Zz ES 
Poda) =1+00( 5) 
bastará poner en evidencia la convergencia de la serie 
Zz , 
ol): (5 
En el estudio de esta convergencia podemos prescindir de los térmi- 
nos en que ja»|<r, pues estos términos entran en número finito. Para 
los demás se tendrá 
y como que el denominador tiende a la unidad cuando n crece indefinida- 
mente, queda patentizado que la convergencia absoluta y uniforme de la 
serie (3) es una consecuencia inmediata de la convergencia de la serie 
positiva 
Tr Ver 
22)" 
Con esto queda demostrado el teorema fundamental de Weierstrass: 
«Dado un conjunto de números cuyo módulo crece indefinidamente, se 
puede formar un producto de factores primarios, en que cada uno se anula 
para uno de estos números; este producto es absoluta y uniformemente 
convergente en toda región finita del plano, y representa, por consiguien- 
te, una función entera. » 
