y 
Este teorema nos permite formar una función entera que tenga como 
ceros los elementos de un conjunto de puntos aislados. 
Si uno o varios de estos puntos coinciden con el origen, figurará en 
el producto una potencia de z. : 
De todo ello resulta que la forma general de una función entera que se 
anula en los puntos 4;,, do, ... y tiene además en el origen un cero de or- 
den rn es la siguiente: : 
2 1(2Y l/z 
F(=) = Al fi 4 ed ás == ua ala. (1) 
1 (947 
siendo G(z) una tunción entera cualquiera. 
Esta descomposición de la función entera en factores primarios es 
paralela a la descomposición de un polinomio en factores de primer grado. 
Pero salta a la vista que F(=) está expresada en función de un elemen- 
to de la misma naturaleza, cual es la función G(2). La determinación de 
este factor exponencial eúi(s) es siempre cuestión difícil: se facilita esta 
determinación con la aplicación de los teoremas fundamentales de Ha- 
damard. 
Como ejemplos de desarrollos en forma canónica citaremos 
2z 
Zz — 
senz=z2I1 (1 le" 
para todo valor positivo de n, 
Zz ada 
NE Mi+ Eje 4 
(C = const. de Euler). 
El exponente de convergencia 
He aquí una noción tan sencilla como interesante que conviene intro- 
ducir para aplicaciones ulteriores. 
Consideremos una sucesión de números positivos crecientes 
: Nan 
y formemos la serie 
1 1 1 
a a E 
Pi Fo La 
siendo a un número positivo cualquiera. 
(1) Al producto de factores primarios, Borel le ha dado el nombre de pro- 
ducto canónico. 
