= 8 — 
: LES , 1 
Haremos la descomposición de e-%”** F(z): 
2 z? 
m p+1 RA 
Il, =e0) Me” 0, (1 — Ejer pul, 
1 Un 
A Dt 
qe o 
IL = Il a li dh. je pal ' 
m+l Un 
Entonces se comprueba sin dificultad -que todos los factores de Il, son: 
inferiores a la unidad, y que el producto Il, tiende a cero cuando — crece 
indefinidamente por ser de la forma 
(zed, 
siendo ú y %. polinomios, y este último, a lo inás, de grado p y c >0. 
Con ello queda sancionada la verdad del primer resultado que obtuvo 
Poincaré, y que señala el inicio de una nueva vida, exuberante y fecunda, 
para la teoria de las funciones enteras. Esta primera desigualdad de Poin- 
caré establece una relación, maravilla de euritmia, entre los elementos que 
hemos designado con los ordinales 3.* y 2.”; el género nos fija un límite 
superior para el módulo de la función. ; 
Si consideramos un círculo con centro en el origen y de radio r, el va- 
lor absoluto de la función entera tendrá un máximo en esta circunferencia. 
El conjunto de los máximos obtenidos para los diferentes valores de r- 
forma una función M(r), que recibe el nombre de módulo máximo de la 
función entera. Esta función es creciente. 
Podremos, pues, enunciar el teorema de Poincaré en la forma si- 
guiente: 
«Si F(z) es una función entera de género p, su módulo máximo cumple 
la desigualdad | (ad 
M()<eartt, 
siendo a un número positivo arbitrario, y r suficientemente grande.» 
Es decir, que el orden de magnitud de M(r) es inferior al de eu? *?. 
La segunda desigualdad de Poincaré establece uma relación entre los 
elementos 3.” y 1.”, entre el género de la función y los coeficientes de su 
desarrollo tayloriano. 
Partiendo del desarrollo en serie 
F(2) =A.+Aj2+ Age?t+... + Aman... 
se considera la integral 
Je) =(p+ e cd E(rzr+dr, 
tomada a lo largo de un camino de integración real, siendo A > 0. 
