A o AA 
Es fácil darse cuenta de que esta integral no es impropia; en efecto, 
en virtud del primer teorema de Poincaré podemos afirmar, a partir de 
un cierto valor de r, 
. 
IF(rzl <evabrr ón, 
y siendo a arbitrario podemos elegirlo de modo que 
ajalbt < 1; 
entonces la integral estudiada tiene sus elementos inferiores en valor ab- 
soluto a los de la integral convergente 
[e wt* rar (7, >0). 
Esto nos revela la naturaleza de la tunción J(2); es una función analí- 
tica sin puntos singulares propios, es decir, una función entera. Su des- 
arrollo en serie tendrá la forma 
16=B 1 Bler IB 
siendo 
Bm = Amp + Df e- a = eN Ma) 
La aparición de la función T' se echa de ver en seguida haciendo el 
cambio de variables r2+! = f£, pues se obtiene 
m+h=p mih+l 
Bm = == Amo a b+1 di= Amo estf NI ale 
Por ser J(z) una función entera, el coeficiente B,, tiende a cero cuan- 
do m aumenta indefinidamente. De ello se desprende la segunda relación 
hallada por Poincaré: 
«Si F(z) es una función de género p, el producto 
a 
tiende a cero cuando m — 00 .» 
Si observamos que A es arbitrario, podemos tomarlo de tal suerte que 
mE h+1 
PRA 
y entonces la propiedad fundamental de la función T' puede aplicarse y da 
PEER lo 
= un número entero, 
lim Am 
m— 0 
