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Las fórmulas de aproximación de la citada función permiten dar nueva 
forma al resultado de Poincaré; la desigualdad 
E cd 
p+l 
Vm! 
se verifica a partir de un cierto valor de m. Dicho en otros términos: 
«En una función entera de género p, el coeficiente de 2”, multiplicado 
por la raíz (p + 1).? de la factorial de m, tiende a cero cuando m. crece 
indefinidamente.» 
Pero la demostración misma de Poincaré permite deducir que también: 
la raíz m.? de este producto tiende a cero, puesto qne 
¡Am| < 
p+l 
Am Vm! 
se presenta como el m.” coeficiente de una serie entera. 
Borel obtiene esta nueva forma del segundo teorema de Poincaré sin 
echar mano de las fórmulas relativas a la función T. Omitiremos su razo- 
namiento, altamente ingenioso, en obsequio a la brevedad. 
Nos contentaremos con llamar la atención sobre la importancia de este 
segundo teorema. La desigualdad sencilla en que se resume, viene a fijar 
el valor asintótico de los coeficientes del desarrollo en serie de una fun- 
ción entera, dado que sea su género. 
Por ejemplo: si la función entera es de género cero, podemos afirmar 
desde luego que, al crecer m indefinidamente, el coeficiente A,» crece 
1 
más lentamente que ——. 
ml 
Más adelante, después de estudiar los complementos aportados por 
Hadamard a los bellos resultados de Poincaré, tendremos ocasión de insis- 
tir en muchas de las cuestiones que ahora hemos solamente bosquejado. 
Entonces, al analizar los trabajos publicados a principios del corriente si- 
glo, y singularmente los de Borel, llegaremos a evaluaciones mucho más 
precisas, y podremos comprobar cuán justificados son los ditirambos que 
hemos dedicado a Poincaré. 
Todos los estudios posteriores están inspirados en las ideas que él dió 
a luz en su corta y famosa Memoria de 1883. 
El potente ariete del genio pudo abrir una brecha en la muralla in- 
expugnable de una teoría obscura e incompleta, y por aquélla penetraron, 
con audacia y denuedo, un puñado de hombres ilustres para rendir la 
plaza tras una lucha ruda, pero coronada por el triunfo brillante y defi- 
nitivo. 
