ML 
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Si v(x) es de crecimiento más rápido que x %, p(m) será de creci- 
«miento más lento que m* y se tendrá 
n= 
y Sn > e-to(m). 
y | Um | 
Cuando y es de crecimiento muy rápido, es decir, cuando su creci- 
miento es más rápido que el de cualquier potencia de la variable, se con- 
“sidera « como infinitamente pequeño y se puede escribir 
m 
na == Sal), 
Hadamard dice que esta relación puede considerarse como el recípro- 
-CO del teorema que demostramos poco ha. 
Borel, quien en diversas ocasiones se ha ocupado del estudio del cre- 
«cimiento de las funciones, procurando aportar el mayor rigor posible a las' 
definiciones, ha hecho notar que la relación dada por Hadamard no es 
“suficientemente precisa. En efecto: fundándose en el concepto de orden 
de magnitud, Borel demuestra que dos funciones de crecimiento muy 
lento 
OO 
x= UX)= FE(XUEDE: 
siendo s constante, no son necesariamente del mismo orden de mag- 
nitud. 
Puesto que, si consideramos las funciones inversas (de crecimiento 
muy rápido) 
a 
X= fir —e =8(4), 
la función g(x) y la f(x) no son del mismo orden de magnitud, pues es 
posible que se verifique 
fx) > esta, 
por pequeño que sea e, con tal que xr sea suficientemente grande, siem- 
pre que se elija para y una determinación conveniente. 
Si aplicamos este resultado a la desigualdad que da Hadamard, se ob- 
serva que, coysiderando e como una constante, las funciones g(m) y 
(1 — a)p(m) pueden admitir funciones inversas de órdenes de magnitud 
muy diferentes y, por consiguiente, el orden de magnitud de ¿(R) no 
queda suficientemente definido. 
Vamos ahora a trazar un rápido diseño de la marcha que siguió Hada- 
mard para establecer la solución del problema inverso del de Poincaré: 
