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Obtener la ley de distribución de las raíces conociendo la ley de los: 
coeficientes. 
Esta fué una cuestión que, por su naturaleza, había asustado a los. 
matemáticos. Se trataba de la resolución de una ecuación trascendente. 
Dada la función entera 
g(2) = Co + C12 + 92? 4... + Cm2” +... 
había que buscar las raíces de g(2) =0. 
Hadamard tuvo la feliz ocurrencia de considerar la función inversa 
a 
g(z) ' 
(2) =C.+ Ci + Cotñ+ ... + Cmzt $ ..., 
existiendo entre los coeficientes las relaciones dadas por la regla de: 
Cramer: 
fz)= 
O Sea 
Coto == 1. Cot ++ C1Co =0) ete: 
La función /(z) tendrá como polos los ceros de g(=) y el problema: 
queda reducido a la determinación de los polos de una función metro- 
moría. 
Precisamente Hadamard había estudiado detenidamente esta cuestión: 
en su tesis doctoral, y de los resultados en ella obtenidos se sirvió para la: 
solución del problema planteado. 
Veamos cómo procedió. Sea la función representada por la serie po- 
tencial 
F(z2) = 4, + 012 + Qa2?+... 4 Oman +..., 
y propongámonos expresar que los puntos singulares situados en un círcu- 
lo de radio p son polos en número de P (contando cada polo cuantas veces- 
indique su grado de multiplicidad). 
Si esto ocurre, podremos eliminar estos polos de la función, multipli- 
cándola por un polinomio de grado P 
li qu =P a =$ =1+A02 +... +A, [9]. 
2, Zo 
y la serie así obtenida 
Fj(2) = Xbmz" 
será convergente en un círculo de radio p' > p. Siendo 
lím sup V bm+r = > 
podremos escribir 
Dm+r = Um+P + AMam+r-1 == ... =j A(P)Am = [EF 10] E 
