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Para demostrar que el género es p, es preciso además probar que H(=) 
se reduce a un polinomio de grado p. 
El problema se resuelve buscando un límite superior del cociente 
Conociendo ya un límite superior de g(z) por el primer teorema de 
Hadamard, hemos de obtener un límite inferior de 2;,(=), lo cual se consi- 
gue mediante el segundo teorema de Hadamard, de que vamos ahora a 
ocuparnos. 
Se nos da un producto canónico de factores primarios 2,(2) y nos pre- 
ponemos demostrar que se pueden trazar, tomando por centro el origen, 
círculos de radios indefinidamente crecientes sobre cada uno de los cuales 
la función 2,(z) sea constantemente superior a 
Una dificultad surge en seguida, y es que si el círculo de radio r pasa 
por un cero a, el módulo mínimo de 2,(=) es cero. Por eso hay necesidad 
de limitar los radios de los círculos considerados, de suerte que eviten los. 
ceros de la función. 
La demostración que del segundo teorema de Hadamard da: Borel, es 
tan sencilla y elegante, que no sabemos resistir a la tentación de indicarla 
en sustitución de la que figura en la labor original de Hadamard. 
Se comienza por estudiar el caso en que 4< 1. 
En este caso se trata de la función entera 
gil) = II li == =) 
suponiendo que, dado s < 1, la serie 
es convergente; resulta de ello para un valor de n bastante grande 
pe 
Tracemos, con centro en el origen, dos círculos cuyos radios sean 
Estos dos círculos limitan una corona C, de espesor igual a 2; de ahí 
que el espesor total de las coronas C, Cs ... C,, sea 2n. 
Con esto la demostración del teorema de Hadamard se reduce a pros 
bar que existen círculos de centro O y de radios siempre crecientes, extes 
