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Finalmente, la desigualdad (10) nos autoriza a escribir 
n+l1 iS 
E 1 ads 
y como quiera que cuando a < ps verifica 
l=a>e- 2, 
se tendrá 
Ay 
al El 
ICl>e ..1 
Ahora bien, siendo s < 1 
as 
o 5 E 0-1 
l—5w d AS l—5w UR 
Goy Ue E EAN 
AZ a E == 
n+1 
de donde 
ds [e] 
¡> TAS 
(2r)9 
Se obtiene así para 2,(z) la limitación 
o] 
¡gj(z)) = |ABC| > a [m log 7 +7 log 2 + ER (2,3197. 
En vista de que m < n < (2r)", el exponente resulta menor que 
rafa log r +2 log 2 + 29 7 - E ) 
y como que, por pequeño que sea e, puede tomarse r suficientemente 
grande para que 
lo) 
l—"w 
2108 r+lcog2+ ) o 
se cumplirá 
g+e 
[ej(2)| ent 
relación que tiene lugar para una infinidad de circunferencias de radios 
indefinidamente crecientes. 
Tenemos así demostrado el segundo teorema de Hadamard, puesto 
que puede tomarse s = 1 e, siendo A el exponente de convergencia de 
la sucesión de los módulos de los ceros, y entonces 
A+e+e 
gal > e 
Este valor A es el orden real e de la función 2,(=), y por ello resumi- 
remos el teorema de Hadamard en la siguiente desigualdad: 
era] > ef". 
La generalización al caso en que el orden p sea mayor que uno se hace 
